2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习高效演练分层突破:第九章 第7讲 抛物线 Word版解析版.pdf

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1、[基础题组练]1.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)pp解析:选B.抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p22=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).2.(2020·湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,其上的点P(m,-3)到焦点的距离为4,则抛物线方程为()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=-4yD.x2=-8yp解析:选C.依题意,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0

2、),则+3=4,所以p=2,所以2抛物线的方程为x2=-4y,故选C.3.若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为43,则该抛物线方程是()23A.y2=xB.y2=3x33C.y2=23xD.y2=x33解析:选A.根据对称性,AB⊥x轴,由于正三角形的面积是43,故AB2=43,故4AB=4,正三角形的高为23,故可设点A的坐标为(23,2),代入抛物线方程得4=43p,323解得p=,故所求抛物线的方程为y2=x.故选A.334.(2020·甘肃张掖第一次联考)已知抛物线C:x2=2py(y>0)

3、的焦点为F,抛物线C:11213y2=(4p+2)x的焦点为F,点Px,在C上,且

4、PF

5、=,则直线FF的斜率为()2021141211A.-B.-2411C.-D.-3531p3解析:选B.因为

6、PF

7、=,所以+=,142241解得p=.21所以C1:x2=y,C2:y2=4x,F10,4,F2(1,0),141所以直线FF的斜率为=-.故选B.120-145.(2020·吉林第三次调研测试)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(4,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长取最小值时,线段PF的长为()13A

8、.1B.421C.5D.4解析:选B.求△PAF周长的最小值,即求

9、PA

10、+

11、PF

12、的最小值,设点P在准线上的射影为D,根据抛物线的定义,可知

13、PF

14、=

15、PD

16、,因此,

17、PA

18、+

19、PF

20、的最小值,即

21、PA

22、+

23、PD

24、的最小值,根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时

25、PA

26、+

27、PD

28、最小,9913此时P4,3,PF的长为4+1=4,故选B.6.在直角坐标系xOy中,有一定点M(-1,2),若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是.p解析:依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x-4y+

29、5=0,把焦点坐标0,2代55入可求得p=,所以准线方程为y=-.245答案:y=-4x2y27.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若33△ABF为等边三角形,则p=.AB33p解析:在等边三角形ABF中,AB边上的高为p,=p,所以B±p,-.2332p2p234又因为点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.33答案:68.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),则抛物线C的方程是;若M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,且M为FN的中点,则

30、FN

31、=.解析:抛物线C:

32、y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),可得p=4,则抛物线C的方程是y2=8x.由M为FN的中点,得M的横坐标为1,代入抛物线方程得y=±22,则M(1,±22),则点N的坐标为(0,±42),所以

33、FN

34、=22+(42)2=6.答案:y2=8x69.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长

35、AB

36、=35,求此抛物线的方程.解:设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x,y),B(x,y),把直线y=2x-4代入1122y2=ax,得4x2-(a+16)x+16=0,由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a

37、<-32.a+16又x+x=,xx=4,12412所以

38、AB

39、=(1+22)[(x+x)2-4xx]1212a+162=54-16=35,a+162所以54-16=45,所以a=4或a=-36.故所求的抛物线的方程为y2=4x或y2=-36x.10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.p解:(1)抛物线y2=2px的准

40、线为x=-,2p于是4+=5,所以p=2.2所以抛物线的方程为y2=4x.(2)因为点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).4又因

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