2020年高考数学一轮复习课时分层训练15导数与函数的极值最值理北师大版_4160.pdf

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1、课时分层训练(十五)导数与函数的极值、最值A组基础达标一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)2C．y＝xe－xD．y＝x＋xD[由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]2．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2

2、在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]13．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()2【导学号：79140083】1A.B．12C．0D．不存在1x2－1A[f′(x)＝x－＝且x＞0.xx令f′(x)＞0，得x＞1.令f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，11f(1)＝－ln1＝.]224．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x＞0)，则获得最大利润时的年产量为()A．1百万件B．2

3、百万件C．3百万件D．4百万件C[y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当0＜x＜3时，y′＞0；当x＞3时，y′＜0.故当x＝3时，该商品的年利润最大．]5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.]二、填空题6．(2017·肇庆

4、模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.5[f′(x)＝3x2＋2ax＋3.依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值．]π7．函数y＝x＋2cosx在区间0，上的最大值是________.2【导学号：79140084】π＋3[y′＝1－2sinx，令y′＝0，6ππ结合x∈0，，解得x＝，26π易知当x∈0，时，y′＞0；6πππππ当

5、x∈，时，y′＜0，故在0，上，函数y＝x＋2cosx在x＝时取最大值62266＋3.]8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]三、解答题9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a<0时，若函数满足f(x)＝1，f(x)＝－3，试求

6、y＝f(x)的解析式．maxmin[解](1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，即2ax≥3x2.∵x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)．2∵a＜0，当x∈－∞，a时，f′(x)≤0，f(x)递减．32当x∈a，0时，f′(x)＞0，f(x)递增．3当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)递减．f(x)＝f(0)＝1，maxa＝－3，∴2f(x)＝fa＝－3b＝1.

7、min3∴f(x)＝－x3－3x2＋1.10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，2且当x＝时，y＝f(x)取极值．3(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．[解](1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(1)＝3＋2a＋b，由切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①22当x＝时，y＝f(x)取极值，则f′＝0，33可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以

8、f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x