2019年高考数学一轮复习 课时分层训练15 导数与函数的极值、最值 理 北师大版

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1、课时分层训练(十五)　导数与函数的极值、最值A组　基础达标一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)A．y＝x3　　　　　　B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋D　[由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．]　2．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4B．－2C．4D．2D　[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0

2、；当－2

3、最大利润时的年产量为(　　)A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件C　[y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当0＜x＜3时，y′＞0；当x＞3时，y′＜0.故当x＝3时，该商品的年利润最大．]5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B　[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，即

4、a2－3a－18＞0，∴a＞6或a＜－3.]二、填空题6．(2017·肇庆模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.5　[f′(x)＝3x2＋2ax＋3.依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值．]7．函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是________.【导学号：79140084】＋　[y′＝1－2sinx，令y′＝0，结合x∈，解得x＝，易知当x∈时，y

5、′＞0；当x∈时，y′＜0，故在上，函数y＝x＋2cosx在x＝时取最大值＋.]8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)　[∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.]三、解答题9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．(1)要使f(x)在(0,2)上单调递增，试求a的取值范围；(2)当a<0时，若函数满足f(x)max＝1，f(x)min＝

6、－3，试求y＝f(x)的解析式．[解]　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax.依题意f′(x)≥0在(0,2)上恒成立，即2ax≥3x2.∵x＞0，∴2a≥3x，∴2a≥6，∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．(2)∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝x(－3x＋2a)．∵a＜0，当x∈时，f′(x)≤0，f(x)递减．当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增．当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)递减．∴⇒∴f(x)＝－x3－3x2＋1.10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3

7、x－y＋1＝0，且当x＝时，y＝f(x)取极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．[解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴f′(1)＝3＋2a＋b，由切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)取极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′

8、(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x在[－3,1]上变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x－3(－3，－2)－21f′(x)＋0－0＋f(x)8单调递增↗13单调递减↘单调递增↗4∴所求最小值为，最大值为13.