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《2020年秋人教B版数学选修4-5练习：3.1 数学归纳法原理 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1数学归纳法原理课时过关·能力提升1.设f(n)=1∈N*),则f(n+1)-f(n)等于()ABCD解析:因为f(n)=1f(n+1)=1f(n+1)-f(n)答案:D2.某个命题与正整数n有关,若当n=k(k∈N*)时该命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立,则可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立解析:如果n=4时命题成立,那么由题设,n=5时命题也成立.上面的判断作为一个命题,那么它的逆否命题是:如果n=5时命题不成立,那么n=4时命题也
2、不成立.原命题成立,它的逆否命题一定成立.答案:C3.用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证当n=k+1时命题成立,需将当n=k+1时的原式表示成()A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对答案:C4.若命题P(n)对n=k(k>1,k∈N*)成立,则它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有()A.正整数n成立B.正偶数n成立C.正奇数n成立D.大于1的自然数n成立答案:B5.用数学归纳法证明:设f(n)=1∈N*,
3、且n≥2)第一步要证明的式子是.解析:当n=2时,等式左边=2+f(1),右边=2f(2).答案:2+f(1)=2f(2)★6.用数学归纳法证明:(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1),从k到k+1左端需增乘的代数式为.解析:当n=k时,(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·…·(2k-1),而当n=k+1时,(k+2)·(k+3)·…·2k·(2k+1)·(2k+2)=2k+1·1·3·…·(2k-1)·(2k+1),所以左端需增乘的代数式答案:2(2k+1)7.证明12-22+32-42+…+(2n-1)2
4、-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N*).证明(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1],故当n=k+1时等式也成立.根据(1)(2)可知
5、,等式对任何n∈N*都成立.★8.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,是否存在自然数m,使得对任意n∈N*,都能使m整除f(n)?如果存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解:存在,m=36.证明如下:(1)当n=1时,f(1)=36,能被36整除;(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1).由归纳假设3[(2k+7)·3k+9]能被36整除.因
6、为3k-1-1是偶数,所以18(3k-1-1)能被36整除,所以f(k+1)能被36整除.根据(1)(2)可知,f(n)能被36整除.因为f(1)=36,所以能整除f(n)的最大整数是36,即m=36.
