2020大二轮高考总复习理数文档：自检7 函数与方程 Word版含解析.pdf

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1、自检07：函数与方程A组高考真题集中训练函数零点的应用1．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x，且x＞0，00则a的取值范围为阿凡题1083930()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)解析：当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1有两个零点，不符合题意，故a≠0.f′(x)＝3ax2－6x22＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a，由题意得a<0且fa>0，解得a<－2，选B．答案：B2．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇M宙中普通物

2、质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()N(参考数据：lg3≈0.48)A．1033B．1053C．1073D．1093M3361解析：由题意，lg＝lg＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝N108093.28．又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，M故与最接近的是1093.故选D．N答案：D3．(2014·山东高考)已知函数f(x)＝

3、x－2

4、＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()11A．0，2B．2，1C

5、．(1,2)D．(2，＋∞)解析：在同一坐标系中分别画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx的斜1率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y＝x－1的斜率时符合题意，故

6、f(x)

7、＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()223A．0，3B．3，412

8、3123C．3，3∪D．3，3∪44解析：由y＝log(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0＜a＜1.又由f(x)在R上单调递减，a则02＋4a－3·0＋3a≥1，133－4a≤a≤.如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝

9、f(x)

10、和y≥0342＝2－x的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，

11、f(x)

12、＝2－x有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，

13、f(x)

14、＝2－x同样有且仅有一个解．2当3a＞2，即a＞时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x＜0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－233＝0(其中x＜0)，则Δ＝(4a－2)2

15、－4(3a－2)＝0，解得a＝或a＝1(舍去)；412当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件．33123综上所述，a∈3，3∪4.故选C．答案：C5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()11A．－B．231C．D．12解析：方法一f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1．∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有

16、唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，1∴2a－1＝0，解得a＝.故选C．2方法二f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x．ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，1要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝．2若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C．答案：C6．(2017·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝x2，x∈D，n－

17、1其中集合D＝x

18、x＝，n∈N*，则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是nx，x∉D，________．解析：由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况．q在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质，若lgx∈Q，pnnqq则由lgx∈(0,1)，可设lgx＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，因此10＝，则10n＝m，mmpp此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx∉Q，因此lgx不可能与每