2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第7章 7.3 组 合 Word版含解析.pdf

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1、7．3组__合第一课时组合与组合数公式及其性质[读教材·填要点]1．组合从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，称为一个组合，我们用符号Cm表示所有不同的组合个数，称Cm为从n个不同的元素中取m个元素的nn组合数．2．组合数有关公式Amnn－1…n－m＋1(1)Cm＝n＝,0≤m≤n.nAmm！mn！(2)Cm＝,0≤m≤n.nm！n－m！3．组合数的性质(1)Cm＝Cn－m，nn(2)如果Cm＝Ck，则m＝k或者m＝n－k，nn(3)Cm＝Cm＋Cm－1.n＋1nn[小问题·大思维]1．“abc”和“acb”是相同的排列还

2、是相同的组合？提示：由于“abc”与“acb”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc”与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列．2．如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素是否与顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．3．“组合”和“组合数”是同一个概念吗？有什么区别？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同

3、元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数.组合的概念[例1]判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？[解](1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序

4、，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备

5、多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为一种分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．组合数公式及其性质应用[例2](1)求值：C5－n＋C9－n

6、；nn＋1m＋1(2)求证：Cm＝Cm＋1.nn－mn5－n≤n，5－n≥0，[解](1)解得4≤n≤5.9－n≤n＋1，9－n≥0，又因为n∈N，所以n＝4或n＝5.＋当n＝4时，原式＝C1＋C5＝5，45当n＝5时，原式＝C0＋C4＝16.56n！(2)证明：因为Cm＝，nm！n－m！m＋1m＋1n！Cm＋1＝·n－mnm＋1！n－mn－m－1！n！＝，m！n－m！m＋1所以Cm＝Cm＋1.nn－mn关于组合数公式的选取技巧nnn－1！n！(1)涉及具体数字的可以直接用Cm＝·＝＝Cmn－mn－1n－mm！n－1－m！m！

7、n－m！n进行计算．n！(2)涉及字母的可以用阶乘式Cm＝计算．nm！n－m！(3)计算时应注意利用组合数的性质Cm＝Cn－m简化运算．nn2．(1)计算C5＋C98·C7；81007(2)计算C0＋C1＋C2＋C3＋C4＋C5；5555552(3)解方程：Cx－x＝C5x－5；1616(4)解不等式：Cm－4＞Cm－6＋C6.mm－1m－18×7×6100×99解：(1)原式＝C3＋C2×1＝＋81003×2×12×1＝56＋4950＝5006.(2)原式＝2(C0＋C1＋C2)＝2(C1＋C2)555655×4＝2×6＋＝32.2×12(3

8、)∵Cx－