2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.5 一元线性回归案例 Word版含解析.pdf

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1、8．5一元线性回归案例[读教材·填要点]1．相关系数(1)定义：样本容量是n的成对观测数据，用(x，y)，(x，y)，…，(x，y)表示，用{x}1122nni表示数据x，x，…，x，用{y}表示数据y，y，…，y，用x与y分别表示{x}和{y}12ni12nii的均值，用s表示{x}的标准差，用s表示{y}的标准差，xiyixy＋xy＋…＋xy再引入：s＝1122nn－xy.xynnx－xy－yiii＝1当ss≠0时，称r＝＝xyxynnx－x2y－y2iii＝1i＝1nxy－nxyiii＝1s＝xy为{x}和{y}的相关系数．

2、ssiixynx2－nx2ny2－ny2iii＝1i＝1①当r>0时，我们称{x}和{y}正相关；xyii②当r<0时，我们称{x}和{y}负相关；xyii③当r＝0时，我们称{x}和{y}不相关．xyii(2)性质：①r总在区间[－1,1]中取值；xy②当r越接近于1时，x，y的线性相关程度越强，且x增加，y也倾向于增加，这时xy数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)分散在一条上升的直线附近．1122nn③当r越接近于－1时，x，y的线性相关程度越强，且x增加，y倾向于减少，这时xy数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)

3、分散在一条下降的直线附近．1122nn④当r越接近于0时，x，y的线性相关程度越弱．xy2．一元线性回归^s(1)回归直线方程：l：y＝bx＋a，其中b＝xy，s2xa＝y－bx.(2)一元线性回归模型：若样本量n的成对观测数据(x，y)，(x，y)，…，(x，y)中y和x满足关系：y＝bx＋a＋e(i＝1,2，…，n，)，1122nniiiii其中e，e，…，e表示随机误差，则称该模型为一元线性回归模型．12n[小问题·大思维]1．

4、r

5、越接近1，及越接近于0，表示两个变量x与y之间线性相关程度如何？xy提示：

6、r

7、越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，

8、它们的散点图越接近于一条xy直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；

9、r

10、越接近0，表明两个变量的线xy性相关程度越弱，通常

11、r

12、>0.8时，认为有很强的相关关系．xy2．在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？提示：不唯一．y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化．3．随机误差e产生的主要原因有哪些？提示：随机误差e产生的主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差．4．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值．利用线性回归

13、方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等．线性回归方程[例1]某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生ABCDE学科数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．[解](1)散点图如图．1(2)x＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，51y＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.55xy＝88×78＋76

14、×65＋73×71＋66×64＋63×61iii＝1＝25054.5x2＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.ii＝15xy－5xyiii＝1所以b＝5x2－5x2ii＝125054－5×73.2×67.8＝27174－5×73.22≈0.625.－－a＝y－bx≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是y＝22.05＋0.625x.(3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.1．回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式，求出回归系数b，a.－－(2)待定

15、系数法：利用回归直线过样本点中心(x，y)求系数．2．回归分析的两种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b.1．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x(单位：千元)与月储蓄i10101010y(单位：千元)的数据资料，算得x＝80，y＝20，xy＝184，x2＝720.iiiiiii＝1i＝1i＝1i＝1(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7

16、千元，预测该家庭的月储蓄．n－－xy