2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.3 正态分布曲线 Word版含解析.pdf

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1、8.3正态分布曲线[读教材·填要点]1．正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念：x－μ2－12σ2函数p(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称2πσp(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；1③p(x)在x＝μ处达到最大值；2πσ④当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑤当μ一定时，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；⑥曲线与x轴之间所夹的面积等于1.2．标准正态分布随机变量X为服务从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．x2－1

2、2特别当μ＝0，σ2＝1时称为标准正态分布，其密度函数记为φ(x)＝e(－∞

3、示：随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a＜X≤b)≈φ(x)dx，即由正态曲线，μ，σa过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X落在区间(a，b]的概率近似值，如图所示．3．设两个正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)和N(μ，σ2)(σ＞0)的密度函数图像如图所示．则111222μ与μ，σ与σ的大小关系是什么？1212提示：根据正态分布曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．故μ<μ，σ<σ.1212也可通过比较两图象的最高点来判断，11μ

4、，和μ，，1σ2π2σ2π1211显然有μ<μ，>，12σ2πσ2π22∴σ<σ.12正态曲线及其性质[例1]某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同[解析]由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.[答案]A利用正态曲线的性质可以求

5、参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.1(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.σ2π(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．11．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布42π的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，1所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，42π11所以＝，2π·σ42π解得σ＝4.x2－132故函数的解析式为φ(x)＝·e，μ，σ42πx∈(－∞，＋∞)．利用正态分布的对称性求概率[例2]设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1

6、＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．[解]因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3

7、σ)，P(μ－2σ