2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2.5 曲线与方程 Word版含解析.pdf

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1、2．5曲线与方程第一课时曲线与方程[读教材·填要点]曲线的方程、方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：点在曲线上点的坐标满足方程．即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线．[小问题·大思维]1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x，y)在曲线C上的充要条件是什么？00提示：若点P在曲线上，则f(x，y)＝0

2、；若f(x，y)＝0，则点P在曲线f(x，y)＝00000上，∴点P(x，y)在曲线C上的充要条件是f(x，y)＝0.00002．“曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别？提示：“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系．而“方程的曲线”则强调的是数量关系表示的图形．曲线的方程与方程的曲线的概念分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程

3、x

4、＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间

5、的关系．[自主解答](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程

6、x

7、＝2的解；但以方程

8、x

9、＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，

10、x

11、＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标

12、的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．[注意]只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不

13、一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．答案：B用直接法求曲线方程已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程．[自主解答]设动点M的坐标为(x，y)，且M到x轴的距离为d，那么M属于集合{M

14、d＝

15、MF

16、}．由距离公式得

17、y

18、＝x－02＋y－42，1整理得x2－8y＋16＝0，

19、即y＝x2＋2.81∴所求点M的轨迹方程是y＝x2＋2.8把本例中的“x轴”改为“直线x＝－4”，求点M的轨迹方程．解：设动点M的坐标为(x，y)，则

20、x＋4

21、＝x－02＋y－42，1整理得x＝y2－y，8y2∴点M的轨迹方程为x＝－y.8利用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系，列出x，y之间的关系式，构成F(x，y)＝0，从而得出所求动点的轨迹方程．要注意求轨迹方程时去杂点，找漏点．2．已知两点A(0,1)，B(1,0)，且

22、MA

23、＝2

24、MB

25、，求动点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)，

26、由两点间距离公式，得

27、MA

28、＝x－02＋y－12，

29、MB

30、＝x－12＋y－02.又

31、MA

32、＝2

33、MB

34、，∴x－02＋y－12＝2x－12＋y－02.两边平方，并整理得3x2＋3y2＋2y－8x＋3＝0，418即所求轨迹方程为x－32＋y＋32＝9.用定义法求曲线方程如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．[自主解答]由垂直平分线性质可知

35、MQ

36、＝

37、MA

38、，∴

39、CM

40、＋

41、MA

42、＝

43、CM

44、＋

45、

46、MQ

47、＝

48、CQ

49、.∴

50、CM

51、＋

52、MA

53、＝5.∴M点轨迹为椭圆．5由椭圆的定义知：a＝，c＝1，22521∴b2＝a2－c2＝－1＝.44x2y2∴所求轨迹方程为：＋＝1.252144如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．3．已知B，C是两个定点，

54、BC

55、＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程．