2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2.2.1 双曲线的定义与标准方程 Word版含解析.pdf

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1、2.2双__曲__线2．2.1双曲线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．双曲线的定义平面上到两个定点F，F的距离之差的绝对值为大于0的定值(小于

2、FF

3、)的点的轨迹1212叫作双曲线．这两个定点F，F叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦12距．2．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形x2y2y2x2标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)a2b2a2b2焦点坐标F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)1212a，b，cc2＝a2＋b2

4、的关系[小问题·大思维]1．双曲线的定义中，为什么要规定定值小于

5、FF

6、？若定值等于

7、FF

8、或等于0或大于1212

9、FF

10、，点的轨迹又是怎样的曲线？12提示：(1)如果定义中定值改为等于

11、FF

12、，此时动点的轨迹是以F，F为端点的两条1212射线(包括端点)．(2)如果定义中定值为0，此时动点轨迹为线段FF的垂直平分线．12(3)如果定义中定值改为大于

13、FF

14、，此时动点轨迹不存在．122．在双曲线的定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹还是双曲线吗？提示：不是．是双曲线的一支．x2y2

15、3．若方程－＝1表示双曲线，m，n应满足什么条件？mnx2y2提示：若方程－＝1表示双曲线，则m·n>0.mn双曲线定义的应用1在△ABC中，已知

16、AB

17、＝42，且三内角A，B，C满足sinB－sinA＝sinC，2建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明表示什么曲线．[自主解答]如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－22，0)，B(22，0)．a由正弦定理得sinA＝，2RbcsinB＝，sinC＝.2R2R1∵sinB－sinA＝sinC，2c

18、∴b－a＝.21从而有

19、CA

20、－

21、CB

22、＝

23、AB

24、＝22＜

25、AB

26、.2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.x2y2∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞2)．26故C点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．解答此类问题要注意定义中的两个关键性条件：(1)差的绝对值是定值，(2)常数大于0小于两定点间的距离．同时具备这两个条件才是双曲线．x2y21．已知F，F分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且12916

27、PF

28、·

29、PF

30、＝32.

31、试求△FPF的面积．1212解：因为P是双曲线左支上的点，所以

32、PF

33、－

34、PF

35、＝6，两边平方得

36、PF

37、2＋

38、PF

39、2－21122

40、PF

41、·

42、PF

43、＝36，所以

44、PF

45、2＋

46、PF

47、2＝36＋2

48、PF

49、·

50、PF

51、＝36＋2×32＝100.121212在△FPF中，由余弦定理，12

52、PF

53、2＋

54、PF

55、2－

56、FF

57、2100－100得cos∠FPF＝1212＝＝0，所以∠FPF＝90°，122

58、PF

59、·

60、PF

61、2

62、PF

63、·

64、PF

65、12121211所以S△FPF＝

66、PF

67、·

68、PF

69、＝×32＝16.12212

70、2求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；1516(2)过点P3，，Q－，5且焦点在坐标轴上．43[自主解答](1)∵焦点在x轴上，c＝6，x2y2∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．λ6－λ∵双曲线经过点(－5,2)，254∴－＝1.λ6－λ∴λ＝5或λ＝30(舍去)．x2∴所求双曲线方程是－y2＝1.5(2)设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，1516∵双曲线过P3，，Q－，5，4

71、322519m＋n＝1，m＝－，1616∴解得256m＋25n＝1，n＝1.99y2x2∴所求双曲线方程为－＝1.9161．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．y2x2y2x2(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后a2b2a2b2根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于

72、哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．410(1)a＝4，经过点A1，－；3(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．解：(1)当焦点在x轴上时，x2y2设所求标准方程为－＝1(b>0)，16b216160把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；159当焦点在y轴上时，y2x2设所求标准方程为－＝1(b>0)，16b2把A点的坐标代入，得b2＝9，y2x2∴所求双曲