2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.5 空间向量的数量积 Word版含解析.pdf

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1、3．1.5空间向量的数量积[对应学生用书P59]空间向量的夹角在帮助日本地震灾区重建家园的过程中，中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5000kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F，F，F并且每两个力之间的夹角都是60°，(其中g＝10N/kg)．123问题1：向量F和－F夹角为多少？12提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：设每个力大小为

2、F

3、，合力为

4、F

5、，0则

6、F

7、2＝(F＋F＋F)·(F＋F＋F)123123＝(F＋F＋F)2123＝6

8、F

9、2.0∴

10、F

11、＝6

12、F

13、.0500

14、0625006250006∴

15、F

16、＝×10＝×10＝(N)．06331．空间两个向量的夹角：定义图示表示范围已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，uuuruuur作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，〈a，b〉[0，π]b的夹角2.如果〈a，b〉＝0，那么向量a与b同向；如果〈a，b〉＝π，那么向量a与b反向；π如果〈a，b〉＝，那么向量a与b互相垂直，记作a⊥b.2向量的数量积两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

17、a

18、

19、b

20、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝

21、a

22、

23、b

24、cos〈a，b〉．①零向量与任何向量的

25、数量积为0.a·b②两非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由下面的公式求得cos〈a，b〉＝.

26、a

27、

28、b

29、③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．④

30、a

31、2＝a·a＝a2.(2)运算律：①a·b＝b·a；②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.数量积的坐标运算在平面向量中，a＝(a，a)，b＝(b，b)，我们知道a·b＝aa＋bb，那么在空间向量12121212中，a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)．则a·b为多少？123123提示：a·b＝ab＋ab＋ab.112233设空间两个非零向量a＝(x，y，z)，b＝(x，

32、y，z)，则111222(1)a·b＝xx＋yy＋zz；121212(2)

33、a

34、＝x2＋y2＋z2；111xx＋yy＋zz(3)cos〈a，b〉＝121212.x2＋y2＋z2x2＋y2＋z2111222特别地，a⊥b⇔a·b＝0⇔xx＋yy＋zz＝0.1212121．数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零．2．数量积的运算不满足消去律和结合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(a·b)c≠a(b·c)．3．空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题．[对应学生用书P60]求空间向量的数量积[例1]已知长方体ABCD－A

35、BCD中，AB＝AA＝2，AD＝4，E为侧面AABB的1111111中心，F为AD的中点．求下列向量的数量积：11uuuruuuur(1)BC·ED；1uuuruuuur(2)BF·AB.1[思路点拨]法一：基向量法：uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuruuuurBC与ED，BF与AB的夹角不易求，可考虑用向量AB、AD、AA表示向量111uuuruuuuruuuruuuurBC、ED、BF、AB，再求结论即可．11法二：坐标法：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．uuuruuur[精解详析]法一：(基向量法)如图所示，设AB＝a，AD＝b，

36、uuuurAA＝c，则

37、a

38、＝1

39、c

40、＝2，

41、b

42、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.uuuruuuuruuuruuuruuuur(1)BC·ED＝BC·(EA＋AD)＝b·1c－a＋b＝

43、b

44、2＝4211112＝16.uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur1(2)BF·AB＝(BA＋AF)·(AB＋AA)＝c－a＋b·(a＋c)＝

45、c

46、2－

47、a

48、2＝22－22＝111120.法二：(坐标法)以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D(0,4,2)，F(0,2,2)，A(

49、0,0,0)，B(2,0,2)，11uuuruuuuruuuruuuur∴BC＝(0,4,0)，ED＝(－1,4,1)，BF＝(－2,2,2)，AB＝(2,0,2)，11uuuruuuur∴(1)BC·ED＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16；1uuuruuuur(2)BF·AB＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.1[一点通]解决此类问题的常用方法有两种：(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关

50、点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数