2018版高中数学苏教版选修2-1学案:3.1.5 空间向量的数量积1

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案3.1.5 空间向量的数量积[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题.知识点一 空间向量的夹角定义已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角记法〈a,b〉范围〈a,b〉∈[0,π].当〈a,b〉=时,a_⊥_b知识点二 空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a,b,则

2、a

3、

4、b

5、cos〈a,b〉叫

6、做a,b的数量积,记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b)交换律a·b=b·a分配律a·(b+c)=a·b+a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0②若a与b同向,则a·b=

7、a

8、·

9、b

10、;若反向,则a·b=-

11、a

12、·

13、b

14、.特别地,a·a=

15、a

16、2或

17、a

18、=③若θ为a,b的夹角,则cosθ=④

19、a·b

20、≤

21、a

22、·

23、b

24、题型一 空间向量的数量积运算例1 如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD

25、的中点,计算:52017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案(1)·;(2)·;(3)·;(4)·.解 (1)·=·=

26、

27、·

28、

29、·cos〈,〉=×1×1×cos60°=,所以·=.(2)·=

30、

31、·

32、

33、·cos〈,〉=×1×1×cos0°=,所以·=.(3)·=·=

34、

35、·

36、

37、·cos〈,〉=×1×1×cos120°=-,所以·=-.(4)·=(+)·(+)=[·(-)+·(-)+·+·]=[-·-·+(-)·+·]=(--+-+)=-.反思与感悟 由向量数量积的定义知,要求a与b的数量积,需已知

38、a

39、,

40、b

41、和〈a,b〉,

42、a与b的夹角与方向有关,一定要根据方向正确判定夹角的大小,才能使a·b计算准确.跟踪训练1 已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,

43、a

44、=3,

45、b

46、=1,

47、c

48、=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.答案 -13解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b+b·c+c·a=-=-13.题型二 利用数量积求夹角例2 如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC52017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案=

49、45°,∠OAB=60°,求OA与BC所成角的余弦值.解 因为=-,所以·=·-·=

50、

51、

52、

53、cos〈,〉-

54、

55、

56、

57、cos〈,〉=8×4×cos135°-8×6×cos120°=-16+24.所以cos〈,〉===.即OA与BC所成角的余弦值为.反思与感悟 利用向量的数量积,求异面直线所成的角的方法:(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量;(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题;(3)利用向量的数量积求角的大小;(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零.跟踪训练2 如图所示,正四面体ABCD的每条棱长都等于a,

58、点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN⊥AB,MN⊥CD.证明 ·=(++)·=(++)·=(++-)·=a2+a2cos120°+a2cos60°-a2cos60°=0,所以⊥,即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.题型三 利用数量积求距离例3 正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2,E、F分别是AB、A1C1的中点,求EF的长.解 如图所示,设=a,=b,=c.由题意知

59、a

60、=

61、b

62、=

63、c

64、=2,且〈a,b〉=60°,〈a,c〉=〈b,c〉=90°.因为=++=-++=-a+b+c,所以EF2=

65、

66、2=2=a2+b2+c

67、252017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案+2=×22+×22+22+2××2×2cos60°=1+1+4-1=5,所以EF=.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模,利用公式

68、a

69、=求解即可.跟踪训练3 如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.解 ∵CA⊥AB,

70、BD⊥AB,∴〈,〉=120°.∵=++,且·=0,·=0,∴

71、

72、2=·=(++)(++)=

73、

74、2+

75、

76、2+

77、

78、2+2·=

79、

80、2+

81、

82、2+

83、

84、2+2

85、

86、

87、

88、cos〈,〉=62+42+82+2×6×8×(-)=68,∴

89、

90、=2,故CD的长为2.1.若a,b均为非零向量,则a·b

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