高中数学苏教版选修2-1学案：3.1.5空间向量的数量积word版含解析

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1、3.1.5　空间向量的数量积1．理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点)3．理解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)[基础·初探]教材整理1　空间向量的夹角阅读教材P91～P92上半部分，完成下列问题．a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，a，b的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.如图3125，在正方体ABCDA1B1C1

2、D1中，求向量与夹角的大小．图3125【解】　∵＝，∴∠CAD1的大小就等于〈，〉．∵△ACD1为正三角形，∴∠CAD1＝，∴〈，〉＝.∴向量与夹角的大小为.教材整理2　空间向量的数量积阅读教材P92例1以上的部分，完成下列问题．1．数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量

3、a

4、

5、b

6、·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cos〈a，b〉．规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．数量积的性质(1)cosa，b＝(a，b是两个非零向量)．(2)a⊥b⇔a·b＝0(

11、a，b是两个非零向量)．(3)

12、a

13、2＝a·a＝a2.3．数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)(2)在△ABC中，〈，〉＝∠B.(　　)(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．(　　)(4)若a，b均为非零向量，则a·b＝

14、a

15、

16、b

17、是a与b共线的充要条件．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．已知

18、a

19、＝，

20、b

21、＝，a·

22、b＝－，则a与b的夹角为________.【导学号：09390075】【解析】　cos〈a，b〉＝＝＝－，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.【答案】　教材整理3　数量积的坐标表示阅读教材P93～P94例3以上的部分，完成下列问题．1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．(3)

23、a

24、＝＝.(4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．2．空间两点间距离公式设A(x1，

25、y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝.1．若a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且a⊥b，则x＝______.【解析】　∵a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得x＝2.【答案】　22．与向量a＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________．【解析】　

26、a

27、＝＝3，故与a方向相同的单位向量是＝(1,2,2)＝.【答案】　[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]求空间向量的数量积　已知长方体ABCDA

28、1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．(1)·；(2)·.【精彩点拨】　法一(基向量法)：与，与的夹角不易求，可考虑用向量，，表示向量，，，，再求结论即可．法二(坐标法)：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．【自主解答】　法一(基向量法)：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则

29、a

30、＝

31、c

32、＝2，

33、b

34、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝b·＝

35、b

36、2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝

37、c

38、2－

39、a

40、2＝

41、22－22＝0.法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)，(1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16.(2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.解决此类问题的常用方法1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确

42、定的向量．2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．[再练一题]1．在上述例1中，求·.【解】　法一：·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－

43、a

44、2＋

45、b

46、2＝2.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0,2,2)，C1(2,4,2)，∴＝(－1,2,1)，＝(2,2