2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.1.5 空间向量的数量积1

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案3．1.5　空间向量的数量积[学习目标]　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．知识点一　空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法〈a，b〉范围〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a_⊥_b知识点二　空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则

2、a

3、

4、b

5、cos〈

6、a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝

7、a

8、·

9、b

10、；若反向，则a·b＝－

11、a

12、·

13、b

14、.特别地，a·a＝

15、a

16、2或

17、a

18、＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④

19、a·b

20、≤

21、a

22、·

23、b

24、题型一　空间向量的数量积运算例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E

25、，F分别是AB，AD的中点，计算：52017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.解　(1)·＝·＝

26、

27、·

28、

29、·cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝，所以·＝.(2)·＝

30、

31、·

32、

33、·cos〈，〉＝×1×1×cos0°＝，所以·＝.(3)·＝·＝

34、

35、·

36、

37、·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－，所以·＝－.(4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]＝(－－＋－＋)＝－.反思与感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已

38、知

39、a

40、，

41、b

42、和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．跟踪训练1　已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，

43、a

44、＝3，

45、b

46、＝1，

47、c

48、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案　－13解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.题型二　利用数量积求夹角例2　如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC52017-2

49、018学年苏教版高中数学选修2-1学案＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．解　因为＝－，所以·＝·－·＝

50、

51、

52、

53、cos〈，〉－

54、

55、

56、

57、cos〈，〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝－16＋24.所以cos〈，〉＝＝＝.即OA与BC所成角的余弦值为.反思与感悟　利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．跟踪训练

58、2　如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.证明　·＝(＋＋)·＝(＋＋)·＝(＋＋－)·＝a2＋a2cos120°＋a2cos60°－a2cos60°＝0，所以⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.题型三　利用数量积求距离例3　正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．解　如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知

59、a

60、＝

61、b

62、＝

63、c

64、＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝

65、－＋＋＝－a＋b＋c，所以EF2＝

66、

67、2＝2＝a2＋b2＋c252017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以EF＝.反思与感悟　利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式

68、a

69、＝求解即可．跟踪训练3　如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的

70、线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．解　∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈，〉＝120°.∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，∴

71、

72、2＝·＝(＋＋)(＋＋)＝

73、

74、2＋

75、

76、2＋

77、

78、2＋2·＝

79、

80、2＋

81、

82、2＋

83、

84、2＋2

85、

86、

87、

88、cos〈，〉＝62＋42＋82＋2×6×8×(－)＝68，∴

89、

90、＝2，故CD的长为2.1．若a，b均为非零向量，则a·b