2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.1.5 空间向量的数量积

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案3.1.5　空间向量的数量积学习目标　1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一　空间向量的夹角1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与向量b的夹角，记作________.2.图形表示：角度表示〈a，b〉＝________〈a，b〉是________〈a，

2、b〉是________〈a，b〉是钝角〈a，b〉＝________3.范围：________≤〈a，b〉≤________.4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作________.知识点二　空间向量的数量积思考　两个向量的数量积是数量，还是向量？102017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案梳理　(1)定义：①设a，b是空间两个非零向量，把数量______________叫做a，b的数量积.②记作：a·b，即a·b＝________________.(2)运算律：交换律a·b＝____________

3、____数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________(λ∈R)分配律a·(b＋c)＝________(3)坐标表示：已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a·b＝________________.②a⊥b⇔________⇔________________.③

4、a

5、＝＝________________.④cos〈a，b〉＝________________________.知识点三　空间中两点间的距离公式思考　空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？梳理　在空间直角坐标系中，设A(x1，

6、y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝________________________.类型一　空间向量的数量积运算命题角度1　空间向量的数量积基本运算例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①p2·q2＝(p·q)2；②

7、p＋q

8、·

9、p－q

10、＝

11、p2－q2

12、；③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.102017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，

13、a

14、＝3，

15、b

16、＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).反思与感悟　(1)已知a，

17、b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝

18、a

19、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

20、a＋3b

21、＝________.命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2　已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.试计算：(1)·；(2)·；(3)·.反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是

22、向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2　已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)(＋)·(＋)；(2)

23、＋＋

24、.类型二　利用数量积求夹角或模命题角度1　利用数量积求夹角例3　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.102017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案反思与感悟　利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3　已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在

25、平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.求证：l⊥PA.命题角度2　利用数量积求模(或距离)例4　如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.反思与感悟　102017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式

26、a

27、＝求解即可.跟踪训练4　如图，已知

28、线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.　类型三　利用空间向量的数量积解决垂直问题例5　如图，在空间四边形OABC中，OB