2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.4 空间向量的坐标表示 Word版含解析.pdf

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1、3．1.4空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－ABCD中，建立空间直角坐标系1111(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.问题1：用i，j，k表示AC，AD.1提示：AC＝i＋j，AD＝j＋k.1问题2：若AC＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C的坐标有什么关系？11提示：∵AC＝i＋j＋k，1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C的坐标相同．1在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴

2、、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F，F，F，它们两两垂直，且

3、F

4、＝3000N，

5、F

6、＝2000N，

7、F

8、＝20003N.123123问题1：若以F，F，F的方向分别为x轴，y轴，z轴正

9、半轴建立空间直角坐标系，123巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3000,2000,20003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：

10、F

11、＝5000N.1．设a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b)，则a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)，a－b＝(a1231231122331－b，a－b，a－b)，λa＝(λa，λa，λa)，λ∈R.122331232．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)b＝λa，b＝λa，b＝λa(λ∈R)．1122333．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

12、坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57]空间向量的坐标表示[例1]如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AB＝1.求向量MN的坐标．[思路点拨]以AB、AD、AP为单位正交

13、基底建立空间直角坐标系，用AB、AD、AP表示MN，得其坐标．[精解详析]∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP是两两垂直的单位向量．设AB＝e，AD＝e，AP＝e，以{e，e，e}为基底建立123123空间直角坐标系A－xyz.法一：∵MN＝MA＋AP＋PN11＝－AB＋AP＋PC2211＝－AB＋AP＋(PA＋AC)2211＝－AB＋AP＋(PA＋AB＋AD)221111＝AP＋AD＝e＋e，22222311∴MN＝0，2，2.法二：如图所示，连结

14、AC、BD交于点O.则O为AC、BD的中点．11∴MO＝BC＝AD，221ON＝AP，21111∴MN＝MO＋ON＝AD＋AP＝e＋e，22222311∴MN＝0，2，2.[一点通]用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD－ABCD是棱长为2的正方体，E，F分别为BB11111和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB，DE，1DF的坐标．解：设x、y、z轴的单位向量分别为e，e，e，其方向与各轴上123的正方向相同，则DB＝DA＋AB＋BB11＝2e＋2e＋2e

15、，123∴DB＝(2,2,2)．1∵DE＝DA＋AB＋BE＝2e＋2e＋e，123∴DE＝(2,2,1)．又∵DF＝e，2∴DF＝(0,1,0)．π2.在直三棱柱ABO－ABO中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA＝4，D为AB的中1112111点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO、AB的坐标．1解：(1)∵DO＝－OD＝－(OO＋OD)111＝－[OO＋(OA＋OB)]1211＝－OO－OA－OB.122又

16、OO

17、＝4，

18、OA

19、＝4，

20、OB

21、＝2，1∴DO＝(－2，－1，－4)．(2)∵

22、AB＝OB－OA＝OB－(OA＋AA)111＝OB－OA－AA.1又

23、OB

24、＝2，

25、OA

26、＝4，

27、AA

28、＝4，1∴AB＝(－4,2，－4)．13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(2,3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标．解：由已知p＝2a＋3b－c，设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.由向量分解的惟一性，x＋y＋z＝2，x＝－1，得y＋z＝3，解得y＝4，z＝－1，z＝－1.∴p在基底{a，a＋b，a