2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 2.2 排序不等式 Word版含解析.pdf

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1、2．2排序不等式[对应学生用书P31][读教材·填要点]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a≤a≤a≤…≤a，b≤b≤b≤…≤b是两组实数，c，c，c，…，c为b，b，…，123n123n123n12b的任何一个排列，称nab＋ab＋…＋ab1122nn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称ab＋ab＋…＋ab1n2n－1n1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称ac＋ac＋…＋ac1122nn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序原理设a≤a≤…≤a，b≤b≤…≤b为两

2、组实数，c，c，…，c是b，b，…，b的任12n12n12n12n一排列，则有ab＋ab＋…＋ab≤ac＋ac＋…＋ac≤ab＋ab＋…＋ab.1n2n－1n11122nn1122nn等号成立a＝a＝…＝a或b＝b＝…＝b.12n12n排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[小问题·大思维]1．排序不等式的本质含义是什么？提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数

3、序列．2．已知两组数a≤a≤a≤a≤a，b≤b≤b≤b≤b，其中a＝2，a＝7，a＝8，1234512345123a＝9，a＝12，b＝3，b＝4，b＝6，b＝10，b＝11，将b(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c，4512345i1c，c，c，c，则ac＋ac＋…＋ac的最大值和最小值分别为何值？2345112255提示：由顺序和最大知最大值为：ab＋ab＋ab＋ab＋ab＝304，1122334455由反序和最小知最小值为：ab＋ab＋ab＋ab＋ab＝212.1524334251[对

4、应学生用书P31]用排序不等式证明不等式(所证不等式中的字母大小顺序确定)[例1]已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：111(1)≥≥；bccaaba5b5c5111(2)＋＋≥＋＋.b3c3c3a3a3b3abc[思路点拨]本题考查排序不等式的直接应用，解答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式，构造数组，利用公式求解．11[精解详析](1)∵a≥b>0，于是≤，ab111又c>0，∴>0.从而≥.cbcca11同理，∵b≥c>0，于是≤，bc111∵a>0，∴>0，于是得≥.aca

5、ab111从而≥≥.bccaab111(2)由(1)≥≥，于是由顺序和≥乱序和得，bccaaba5b5c5b5c5a5＋＋≥＋＋b3c3c3a3a3b3b3c3c3a3a3b3b2c2a2111＝＋＋∵a2≥b2≥c2，≥≥c3a3b3c3b3a3c2a2b2111111≥＋＋＝＋＋＝＋＋.c3a3b3cababc利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c，所以可直接利用已知构造两个数组．a12b12c121．设a，b，c为正数，求

6、证：＋＋≥a10＋b10＋c10.bcacab证明：不妨设a≥b≥c>0，111则a12≥b12≥c12，≥≥>0，bcacab∴由顺序和≥乱序和，得a12b12c12a12b12c12a11b11c11＋＋≥＋＋＝＋＋.①bcacababbcacbca111又∵a11≥b11≥c11，≥≥，cba∴由乱序和≥反序和得：a11b11c11a11b11c11＋＋≥＋＋＝a10＋b10＋c10，②bcaabca12b12c12由①②两式得：＋＋≥a10＋b10＋c10.bcacab用排序不等式证明不

7、等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)[例2]设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋xn≥(2n＋1)xn.[思路点拨]本题考查排序不等式的应用．解答本题需要注意：题目中只给出了x>0，但对于x≥1，x<1没有明确，因此需要进行分类讨论．[精解详析](1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：顺序和≥反序和，得1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为序

8、列1，x，x2，…，xn的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.(2)当0x>x2>…>xn，但①②仍然成立，于是③也成立．综合(1)(2)，证毕．在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小