2019-2020学年高二数学人教B版选修4-5讲义：第二章 2.1 柯西不等式 Word版含解析.pdf

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1、2．1柯西不等式[对应学生用书P28][读教材·填要点]1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式(1)定理1(柯西不等式的代数形式)设a，a，b，b均为实数，则1212(a2＋a2)(b2＋b2)≥(ab＋ab)2.12121122上式等号成立⇔ab＝ab.1221(2)定理2(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、上式中等号成立⇔向量α和β共线(平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.(3)定理3：设a，a，b，b为实数，则1212a2＋a2＋b2＋b2≥a＋b2＋a＋b212121122等号成立⇔存在非负实数μ及λ，

8、使得μa＝λb，μa＝λb.1122(4)定理4(平面三角不等式)设a，a，b，b，c，c为实数，则121212a－b2＋a－b2＋b－c2＋b－c2≥a－c2＋a－c2.112211221122等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得：μ(a－b)＝λ(b－c)，μ(a－b)＝λ(b－c)．11112222(5)定理5：设α，β，γ为平面向量，则

9、α－β

10、＋

11、β－γ

12、≥

13、α－γ

14、当α－β，β－γ为非零向量时，上面不等式中等号成立⇔存在正常数λ，使得α－β＝λ(β－γ)⇔向量α－β与β－γ同向，即夹角为零．2．柯西不等式的一般形式1定理设a，a，

15、…，a，b，b，…，b为实数，则(a2＋a2＋…＋a2)2(b2＋b2＋…＋12n12n12n121b2)2≥

16、ab＋ab＋…＋ab

17、，n1122nnaaa其中等号成立1＝2＝…＝n(当某b＝0时，认为a＝0，j＝1,2，…，n)bbbjj12n[小问题·大思维]ab1．在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成1＝1吗？ab22提示：不可以．当a·b＝0时，柯西不等式成立，22ab但1＝1不成立．ab222．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成a·b(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ii提示：不可以，a·b的顺序要与左侧a，b的顺序一致．i

18、iii3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a＝kb(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ii提示：不可以．若b＝0而a≠0，则k不存在．ii[对应学生用书P29]利用平面上的柯西不等式证明有关不等式[例1]已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ

19、证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设a，b均为正实数，且a＋b＝2.a2b2求证：＋≥2.2－a2－b证明：根据柯西不等式，有a2b2[(2－a)＋(2－b)]＋2－a2－bab＝[(2－a)2＋(2－b)2]2＋22－a2－bab≥2－a·＋2－b·22－a2－b＝(a＋b)2＝4.a2b24∴＋≥＝2.2－a2－b2－a

20、＋2－b∴原不等式成立.利用一般形式的柯西不等式证明不等式[例2]设a，b，c为正数，且不全相等．2229求证：＋＋>.a＋bb＋cc＋aa＋b＋c[思路点拨]本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据111a＋b，b＋c，c＋a；，，，然后利用柯西不等式解决．a＋bb＋cc＋a111[精解详析]构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；，，，则由柯西a＋bb＋cc＋a不等式得111(a＋b＋b＋c＋c＋a)＋＋≥(1＋1＋1)2，①a＋bb＋cc＋a111即2(a＋b＋c)＋＋≥9，a＋bb＋cc＋a2229于是＋＋≥.a＋bb＋

21、cc＋aa＋b＋ca＋bb＋cc＋a由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝111a＋bb＋cc＋ab＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，2229于是＋＋>.a＋bb＋cc＋aa＋b＋c柯西不等式的结构特征可以记为(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(ab＋ab12n12n1122＋…＋ab)2，其中a，b均为正实数(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体nnii上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．a2b2c22．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.bc

22、aa2b2c2证明：