2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十六数学归纳法含解析新人教A版选修2.pdf

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1、课时跟踪检测（十六）数学归纳法一、题组对点训练对点练一用数学归纳法证明等式11111．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()nn＋1n＋2n211A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋23111B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋23411C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋23111D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋234解析：选D结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续111自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.2342．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…

2、＋n(n2－n2)＝n2n－1n＋1.412×1－1×1＋1证明：①当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立．4②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2k－1k＋1.4那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]k2k－1k＋1＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝＋(2k＋4kk＋11)21＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]4

3、1＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)4k＋12[k＋1－1][k＋1＋1]＝，4所以当n＝k＋1时等式成立．由①②知，对任意n∈N*等式成立．对点练二用数学归纳法证明不等式11113．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要22322n－122n－1证明()111A．1＜2－B．1＋＜2－2－12222－11111111C．1＋＋＜2－D．1＋＋＋＜2－223222－122324222－1111解析：选C第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋＋＜2－.223222－14．某同学回答“用数学归纳法证明nn＋1＜n＋1(n∈N*)”的过程如下：证明

4、：①当n＝1时，显然命题是正确的；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，有kk＋1＜k＋1，那么当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2＜k2＋4k＋4＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由①②可知对于n∈N*，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于()A．从k到k＋1的推理过程没有使用假设B．假设的写法不正确C．从k到k＋1的推理不严密D．当n＝1时，验证过程不具体解析：选A分析证明过程中的②可知，从k到k＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.1115．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．232n－111证明：

5、(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．23111(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋

6、A三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有[f(k)＋k－1]个对角面．故选A.7．设数列{a}的前n项和为S，且方程x2－ax－a＝0有一根为S－1(n∈N*)．nnnnn(1)求a，a；12(2)猜想数列{S}的通项公式，并给出证明．n解：(1)当n＝1时，方程x2－ax－a＝0有一根S－1＝a－1，所以(a－1)2－a(a－1)11111111－a＝0，解得a＝，1121当n＝2时，方程x2－ax－a＝0有一根为S－1

7、＝a＋a－1＝a－，222122211所以a－2－aa－－a＝0，2222221解得a＝.26(2)由题意知(S－1)2－a(S－1)－a＝0，nnnn当n≥2时，a＝S－S，代入整理得nnn－11SS－2S＋1＝0，解得S＝.nn－1nn2－Sn－11112由(1)得S＝a＝，S＝a＋a＝＋＝.112212263n猜想S＝(n∈N*)．nn＋1下面用数学归纳法证明这个结论．①当n＝1