高中数学 课时跟踪检测（十七）数学归纳法 新人教a版选修

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1、课时跟踪检测(十七)　数学归纳法一、选择题1．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立解析：选A　因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．2．证明1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时

2、，左端增加的项数是(　　)A．1　　　　　　　　　B．k－1C．kD．2k解析：选D　当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．3．已知数列{an}的前n项之和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N*)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an等于(　　)A.B.C.D.解析：选D　∵a1＝1，a2＝，S3＝1＋＋a3＝6－a3，∴a3＝.同理可得a4＝.观察1，，，，…，猜想an＝.4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x

3、)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)＜49成立，则当k≥8时，均有f(k)＜k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：选D　对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C

4、应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立”．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为(　　)A．a＝，b＝B．a＝b＝C．a＝0，b＝D．a＝，b＝解析：选A　法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1,2验证易知选A.法二：∵1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，∴当n＝1,2时有即解得二、填空题6．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(

5、n)等于________．解析：f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：＋＋7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________________________________．解析：观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项．答案：＋＋…＋＋>－8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为___________

6、_____________．解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2三、解答题9．平面内有n(n≥2，n∈N*)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．证明：交点的个数f(n)＝.证明：(1)当n＝2时，两条直线有一个交点，f(2)＝1，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，即f(k)＝.那么，当n＝k＋1时，第k＋1条直线与前k条直线均

7、有一个交点，即新增k个交点，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n≥2，n∈N*都成立．10．设数列的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)．(1)求a1，a2；(2)求的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，有一根S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，

8、解得a2＝.(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*)由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.由(*)可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….下面用