2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（十六）数学归纳法（含解析）新人教A版

《2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（十六）数学归纳法（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、课时跟踪检测（十六）数学归纳法一、题组对点训练对点练一　用数学归纳法证明等式1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析：选D　结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝.证明：①当n＝1时，左边＝

2、12－1＝0，右边＝＝0，所以等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝.那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝＋(2k＋1)＝k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝，所以当n＝k＋1时等式成立．由①②知，对任意n∈N*等式成立．对点练二　用数学归纳法证明不等式3．用数学归纳法证明1

3、＋＋＋…＋＜2－(n≥2)(n∈N*)时，第一步需要证明(　　)A．1＜2－B．1＋＜2－C．1＋＋＜2－D．1＋＋＋＜2－解析：选C　第一步验证n＝2时是否成立，即证明1＋＋＜2－.4．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N*)”的过程如下：证明：①当n＝1时，显然命题是正确的；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由①②可知对于n∈N*，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　)A．从k到k＋1的推理过程没有使用假设B．假设的写法不正确C．从k到k＋1的推理不严密D．

4、当n＝1时，验证过程不具体解析：选A　分析证明过程中的②可知，从k到k＋1的推理过程没有使用假设，故该证法不能叫数学归纳法，选A.5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋

5、k≥3，k∈N*)为(　　)A．f(k)＋k－1　　　　B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋kD．f(k)＋k－2解析：选A　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有[f(k)＋k－1]个对角面．故选A.7．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．解：(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1

6、＝0有一根S1－1＝a1－1，所以(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝，当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，所以2－a2－a2＝0，解得a2＝.(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.猜想Sn＝(n∈N*)．下面用数学归纳法证明这个结论．①当n＝1时，结论成立．②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，

7、结论也成立．由①②可知，{Sn}的通项公式为Sn＝(n∈N*)．二、综合过关训练1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选C　边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.2．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立解析：选A　因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推