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1、第九章多元函数积分学（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）1、三重积分的引入：三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦）问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。2、三重积分的计算：（1）作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。（2）计算三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截
2、割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之⋯⋯投影法方法概该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的要质量，立体区域V是曲面zz1x,y（称为下曲面），zz2x,y（称为上曲面）与以xy边界为准线，母线平行于Oz轴的柱面为侧面。图形示例适用范投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对围应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。注意点若xy是x一型区域：1xy2x,axb，则有若xy是y一型区域：1yx2y,cxd，则有若xy是圆域或圆域的一部分时，也可化
3、为xy上的二重积分以后，再用极坐标变换化为累次积分。平面截割法方法概该方法是将所求立体看作是一根平行于某一坐标轴的细棒，通过将细棒上任意一小截面要上的质量积分，最终得到总质量。设立体V介于两平面zc,zd之间（cd，知对立体V中任意一点Px,y,z，有czd）。过0,0,z,zc,d，作垂直于Oz轴的平面与立体相截，截面区域为Dz，如图6-26所示，（知对立体V中的任意一点Px,y,z，有x,yDz），从而立体区域V可表示为：fx,y,zdvdx,y,zdxdy于是dzfcVDz图形示例适用范，而Dzfx,y,z仅是z的表达式或是常数的面积有公式可计算，可使
4、这种方法，围gzdvddzgzdxdydgzdzdxdydgzSDzdz.cccVDzDz从而直接化成了关于z的一元函数定积分。注意点Oy轴或Ox轴的平面去截割立体。fx,y,z根据具体情况，也可作垂直于仅是x（y）的表达式或是常数，而D的面积有公式可计算煮面坐标变换（多好听的名字，大家把柱体当成锅，就可以煮面了，最好是圆底锅）方法概xrcos,yrsin,zz.02,0r,z.由直角要坐标与柱面坐标可知，r,是点Mx,y,z在Oxy平面上投影点Mx,y的极坐标，z是原直角坐标系中的竖坐标，如图6-27.此时fx,y,zdvfrcos,rsin,zrdrdd
5、z.VV设平行于Oz轴的直线与区域V的边界至多只有两个交点，设V在Oxy平面上的投影区域为xy。区域xy用r,不等式表示与平面中的极坐标变换把平面区域用r,不等式表示完全相同，把上面投影法中的上曲面与下曲面表示成zz2r,,zz1r,.于是立体区域V可表示为fx,y,zdvz2r,从而rdrdfrcos,rsin,zdzVz1r,6r图形示例适用范若立体在Oxy平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有x2y2围），可用柱面坐标系下的计算。（另外两个坐标平面同样适用）注意点在柱面坐标系下，一般总是先积z，后积r，最后积。煮面坐标系变换实质上是投影
6、法与极坐标变换的结合，在积分计算的过程中不要忘记添加r因子球面坐标变换方xsincos,ysinsin,zcos.02.0,0.法概就是点Mx,y,z在Oxy平面上投影点Mx,yr,由直角坐标和球面坐标可知。的极坐标中要的，此时fx,y,zdvfsincos,sinsin,cos2sinddd.VV1、找出立体V在Oxy平面上投影区域xy的极角的范围。即立体V在两半平面ZOAZOBV中的任意一点M,,满足。2、在,之间过极点作射与之间，即立体线，该射线与Oz轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。若对[2，B]之任一Q值。对应的射线与OZ轴组成的半平面与立体V
7、截面的圆形相同。我们一般选取特殊的Q值如Q=2，此时得到的截面，我们观察更清楚。找出该区域的范围1,2，即12（一般情况下10，且2）为常数）。过极点O在该截面上作射线与截面的边界交于两点。极径小的交点落在下曲面1,，极径大的交点落在上曲面2,，即截面上任意一点,满足1,2,，12,如图6-28.从而在球面坐标立体区域V可表示为v,,:1,2,,12,.于是图形示例适若立体V是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成用的主体，（或被积函数中含有x2y2z2范）。此时用球面坐标系下的计算。围注球面坐标系下，总是先积，再积，最
8、后积，而且在大多数情况下，意点1,0,10,2为常数
