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时间:2020-08-22
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1、高二数学选修1、3-3-1函数的单调性与导数————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:3.3.1函数的单调性与导数一、选择题1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为增函数的一个充分条件是( )A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac>0[答案] C2.函数f(x)=2x2-lnx的单调递增区间是( )A.(0,)B.(0,)C.(,+∞)D.(
2、-,0)及(0,)[答案] C[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-,令f′(x)>0,得x>,∴函数f(x)在上单调递增.3.(2009·广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单应用.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2,故选D.4.函数y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( )A.
3、和B.和C.和D.和[答案] A[解析] y′=xcosx,当-π0,当-0,∴y′=xcosx<0.当00,∴y′=xcosx>0.5.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则( )A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤[答案] A[解析] f′(x)=3ax2-1≤0恒成立,即a≤0.6.已知a>0,函数f(x)=-x3+ax在[1,+∞)上是单调减函数,则a的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D
4、.4[答案] C[解析] f′(x)=-3x2+a≤0,∴a≤3x2.∴a≤3.7.设f(x)在(a,b)内可导,则f′(x)<0是f(x)在(a,b)上单调递减的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A8.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则( )A.b≤2B.b<2C.b≥2D.b>2[答案] A[解析] 函数y=x2-2bx+6的对称轴为x=b,要使函数在(2,8)内是增函数,应有b≤2成立.9.(2009·湖南文,7)若函数y=f(
5、x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )[答案] A[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义.∵导函数f′(x)是增函数,∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大,故选A.[点评] B图中切线斜率逐渐减小,C图中f′(x)为常数,D图中切线斜率先增大后减小.10.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调增,则导函数y=f′(x
6、)在区间(-∞,0)上函数值为正,排除A、C,原函数y=f(x)在区间(0,+∞)上先增,再减,最后再增,其导函数y=f′(x)在区间(0,+∞)上函数值先正,再负,再正,排除B,故选D.二、填空题11.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为________.[答案] (-∞,-),(1,+∞)[解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),∴由y′>0得,x>1或x<-.12.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.[答案] [3,+∞)[
7、解析] y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax≤0在区间(0,2)内恒成立,即a≥x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.13.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是________.[答案] m≥[解析] 因为f(x)=x3+x2+mx+1在R上单调,所以f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能递增,∴Δ=4-12m≤0.∴m≥.14.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围________.[答案] a>0[解析] y′=-4x2+a,若y
8、=-x3+ax有三个单调区间,则方程-4x2+a=0应有两个不等实根,故a>0.三、解答题15.讨论函数f(x)=(-1<x<1,b≠0)的单调性.[解析] ∵f(x)=(-10,(x2-1)2>0,①当b>0时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减.②当b<0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(-1,1)上单调递增
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