选修11教案331函数的单调性与导数 .pdf

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1、课题：3.3.1函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点：利用导数判断函数单调性教学难点：利用导数判断函数单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x，x∈I，且当x＜x1212时，都有f(x)＜f(x)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x，x∈I，且1212当x＜x时，都有f(x)＞f(x)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.1212在

2、函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x)与f(x)的大小并不很容易.如果利用导数来12判断函数的单调性就比较简单教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：C'0；(xn)'nxn1；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx11(lnx)'；(logx)'loge；(ex)'ex；(ax)'axlnaxaxa2.法则1[f(x)g(x)]'f'(x)g'(x)．法则2[f(x)g(x)]f'(x)g(x)f(x)g'(x),[cf(x)]cf'(x)f(x)

3、'f'(x)g(x)f(x)g'(x)法则3(g(x)0)g(x)g2(x)二、讲解新课：y1.函数的导数与函数的单调性的关系：fx=x2-4x+3我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数yx24x3的图像可以看到：y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)B(2，+∞)增函数正＞0xO123(－∞，2)减函数负＜0A在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即y/>0时，函数y=f(x)在区间（2，＋∞）

4、内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即y/0时，函数y=f(x)在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y/>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y/<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.三、讲

5、解范例：例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，y哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.2∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.fx=x2-2x+4例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，O1x哪个区间内是减函数.y解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2

6、或x＜0fx=2x3-6x2+7∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.O12x1例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x，x∈(0，+∞)设x＜x.121211xxf(x)－f(x)=2112xxxx1212∵x＞0，x＞0，∴xx＞01212xx∵x＜x，∴x－x＞0，∴21

7、＞01221xx12∴f(x)－f(x)＞0，即f(x)＞f(x)12121∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x证法二：(用导数方法证)11∵f/(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，xx21∴x2＞0，∴－＜0.∴f/(x)0，x21∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.x2点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4确定函数f(x)sinx(x0,2)的单调减区间1例５已知函数y=x+，试讨论出此函数

8、的单调区间.x1y解：y′=(x+)′x1fx=x+x2x21(x1)(x1)-1O1x=1－1·x－2=x2x2-2(x1)(x1)令＞0.解得x＞1或x＜－1.x21∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).x(x1)(x1)令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.x21∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)x四、课堂练习：1．