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1、高等代数单元测试第七章一、选择题1．在下列的变换中是线性变换的为()A.AB.AC.AD.A2．设A是线性空间V的一个线性变换,是V的任意两个子空间,则A与AA的关系为().A.A=AAB.AAAC.AAAD.无法确定3．设A,B,C是线性空间V的三个线性变换,0是V的零变换,则()A.A0,AB=0B=0B.AB=0A=0或B=0C.A=0或B=0AB=0D.A0,AB=ACA=C4.设A是线性空间V的线性变换,都是A的一维不变子空间,且,则V中一定存在一组基,使A在该组基下的矩阵为()A.对角矩阵B.反对称矩阵C.可逆矩阵D.非对角的上三角矩阵5设A是一个不可逆线
2、性变换，则A的特征值为()A.全是零B.至少一个是零C.全不是零D.至多有一个是零6.设是线性变换A的特征多项式的s重根,t是A关于的特征子空间的维数,则s与t的关系为()A.t=sB.tC.tD.7.设V是有限维线性空间,A,B,C是V的三个线性变换,则()A.(A+B)=A+2AB+BB.(A+B)(A-B)=A-BC.(AB)C=A(BC)D.(AB)=AB8.设A是n维线性空间V的线性变换,A的特征多项式,其中,,…互不相同,又设是A的关于的特征子空间(i=1,2,…,r),则A可以在V的某组基下的矩阵是对角矩阵的充分必条件是对每个i=1,2,…,r有()A.
3、维()=SB.维()SD.维()与S没有关系一、判断题1.设A是线性空间V的线性变换，，如果A=A，则.（）2.设A是数域P上线性空间V的线性变换，，…,如果kA+kA+…+kA=0(k),则k+k+…+k=0.()3.设A是数域P上线性空间V的线性变换,,是P上两个一元多项式,则=.()4.设,…,是n维线性空间V的一线性无关向量组,A,B都是V的线性变换，如果A=B(i=1,2,…,n),则A=B.()5.设V是n维线性空间,A是V的线性变换,则维(AV)+维(A(0))=n.()6设A是线性空间V的线性变换,W是V的子空间.则A可以看作为W的线性
4、变换.()7.设A是线性空间V的线性变换,W,W都是A的不变子空间,则W+W也是A的不变子空间.()8．设A是复数域C上的n维线性空间的线性变换,则V中至少有一个A的特征向量.()二、计算题1．在中定义两个线性变换:A=，B,求A+B,AB,BA,A,B.2．在几何空间中,取直角坐标系O-XYZ,以A表示将空间绕OX轴由OY轴向OZ轴旋转的线性变换.(1).求A在基e=(1,0,0),e=(0,1,0),e=(0,0,1)下的矩阵;(2).求A在基=(1,0,0),=(1,1,0),=(1,1,1)下的矩阵;(3).判断A是否可逆?若可逆,试写出A.3.判断矩阵A=能
5、否对角化?若能,求T,使为对角矩阵.4.设三维线性空间V的线性变换A在基,,下的矩阵为A=.(1)求A在基,下的矩阵.(2)求A的值域及其维数.(3)求A的核及其维数.一、证明题1.设,…,是向量空间V的一组向量,是V的一个线性变换,证明:(L(,…,))=L((),(),…,()).2.设为n维线性空间V的一个线性变换,满足=E(E表示恒等变换),证明:的特征值只能是.3.设A是n维线性空间V的线性变换,W是A的一个不变子空间，证明：如果A可逆，则W也是关于的一个不变子空间。4．设A是复数域C上的n维线性空间V的线性变换，如果存在，使，则称A是幂零变换.证明：A是幂
6、零变换的充要条件为A的n个特征值都是零。
