高等代数自测题(2013年5月)

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1、湖北工程学院《高等代数》课程自测题数学与统计学院2012年级命题教师：胡付高时间：2013年5月8日一、判断题1、如果子空间、满足，则.2、向量组生成的子空间的维数等于.3、若实矩阵满足，则的行列式为.4、线性空间的线性变换的属于特征值的全体特征向量作成的子空间.5、级矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是有个互不相同的特征值.6、若是的重特征值，而的特征向量线性无关的最大个数为，则.7、中多项式线性无关.8、实矩阵一定有实特征值.9、设，则相似于对角矩阵.10、线性空间中线性变换的属于某一个特征值的全体特征向量作成的子空间.11、维线性空间的

2、一个线性变换的值域与核的维数之和为.12、线性变换的分别属于不同特征值的特征向量线性无关.二、填空题13、矩阵的最小多项式是.14、设矩阵的三个特征值为，则有，.15、设向量在基下的坐标为，则在基下的坐标为.16、矩阵满足，则的特征值只可能为.17、设三级矩阵的三个特征值为，则行列式.118、若矩阵满足，，则矩阵的最小多项式为.19、设级矩阵满足，则的特征值只可能是.20、设是数域上维线性空间的一个可逆线性变换，在的一组基下的矩阵为，则线性变换在这组基下的矩阵为.三、解答题21、设，求出矩阵的（即的）行列式因子、不变因子、初等因子，并写出的

3、若当标准形.22、求可逆矩阵使得为对角矩阵，其中.23、设，.（1）直接指出与的维数；（2）求的一组基和维数；（3）求的一组基和维数.24、设三维线性空间的一组基为，线性变换使（1）证明为线性变换的不变子空间；（2）求出的值域与核的维数（即秩与零度）；（3）分别求出的值域与核的一组基.25、用表示实数域上所有次数小于3的多项式，再添加零多项式构成的线性空间.（1）证明是的一组基；（2）求由基到基的过渡矩阵；（3）求在基下的坐标.四、证明题26、设为数域上的维线性空间，是的一个线性变换，且有使，.2（1）证明是的一组基；（2）求出在上述基下的

4、矩阵以及的特征多项式；（3）证明：当时，线性变换不能对角化.27、设设是级矩阵，证明:（1）与都是的子空间；（2）.五、选做题28、已知是的线性变换，其定义为,求的特征值与特征向量.29、验证是的子空间，并求的一组基与维数.30、设表示实数域，是实常数，证明：（1）是的一个子空间，求的一组基与维数；（2）找出的一个子空间，使.31、设为的一组基，且线性变换在此基下的矩阵为（1）求的所有特征值与特征向量；（2）判断矩阵能否相似于对角矩阵，若与对角阵相似，求对角阵及可逆阵，使得.（3）对该矩阵，按下列提示给出求的三种方法（可以只简略的叙述方法，

5、不做具体计算）.提示:方法1:相似于对角矩阵；方法2:利用哈密尔顿定理；方法3:分解为一个列向量与一个行向量的乘积.3