高等代数第六章自测题

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1、第六章线性空间自测题一、选择题1．设M是R上全体n阶矩阵的集合，定义(A)=

2、A

3、,A∈M，则是M到R的一个（）.A．单射B．满射C．双射D．既非单射也非满射2．把复数域C看成R上的线性空间，这个空间的维数是（）.A．一维B．二维C．三维D．无限维3．R是复数域，P是任一数域，则集合R∩P对于通常的数的加法与乘法是（）.A．C上的线性空间B．R上的线性空间C．Q上的线性空间D．不构成线性空间4．已知P2的两组基：与，则由基、、的过渡矩阵为（）.A．B．C．D．5．全体正实数集集合R+中，加法与数乘定义为：a⊕b=ab,

4、k。a=ak，其中a、b∈R+，k∈R，则R+构成R上的线性空间，它的维数与基为（）.A．维数=0，没有基B．维数=1，1是基C．维数=1，2是基D．维数=2，3、5是基6.按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P上线性空间的是（）.A．B．C．D．7.数域P上线性空间的维数为，且中任意向量可由线性表出，则下列结论成立的是（）.A．B．C．D．8.设，则（）.A．2B．3C．4D．59.已知在R上构成线性空间，则的基为（）.A．B．C．D．10.若均为线性空间的子空间，则下列等式成立的是（）.A．B．C．D．11．

5、已知，下列集合中是的子空间的为（）.A．B．C．D．12．下列集合有（）个是的子空间.；；；；A．1个B．2个C．3个D．4个13.设都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（）的过渡矩阵.A．B．C．D．二、判断题1．设V是n维线性空间，，且V中的每一个向量均可由它们线性表示，则.（√）2．（1，1，1），=（1，-1，1），=（-1，1，1）是三维空间R3的一组基.（√）3．若V1,V2为有限维线性空间V的子空间，则V1V2也是V的子空间.（×）4．设是线性空间V的一组线性无关向量，则L（）=L（，）⊕L（，）.（

6、√）5．设V1、V2、V3是线性空间V的三个子空间，且V1∩V2=，V2∩V3=，V1∩V3=，则和V1+V2+V3是直和.（×）6.中的子集为子空间.（√）7.中的子集为子空间.（×）8.中的子集为子空间.（√）9.的向量线性相关.（×）10.的向量线性相关.（√）11.的向量的线性相关.（×）12.设是线性空间的两个子空间，那么它们的和也是的一个子空间.（√）13.设是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间.（√）14.设都是数域上的线性空间的有限维子空间，那么也是有限维的，并且.（√）三、填空题1．设

7、-1=.2．设V是三维线性空间，则V的二维子空间有无数个.3．设有P2的一组基，则向量=（a，b）在这组基下的坐标为.4.（1，2，3），=（3，-1，2），=（2，3，x）,则x=5时，、、线性相关.5．向量组（1，0，0），=（0，1，0），=（3，-1，0）的极大无关组是.6.向量空间V的基到基的过渡矩阵为.7.复数域作为实数域上的向量空间，则,它的一个基为.复数域作为复数域上的向量空间，则,它的一个基为.8.设是向量空间的一个基，由该基到的过渡矩阵为.9.设与都是上的两个有限维线性空间，则.10.数域上任一维向

8、量空间都与.（不同构，同构）11.任一有限维的向量空间的基是的，但任两个基所含向量个数是.12.令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的线性空间，则=.13.令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的线性空间，则=.14.令是数域上一切阶上三角形矩阵所成的线性空间，则=.四、简答题1．证明：x2+x，x2-x，x+1是线性空间R[x]3的一组基，并求2x2+7x+3在这组基下的坐标.2.证明：是的一个基，并求多项式与在该基下的坐标.3.已知,，求在基下的坐标.4 ）____________________

9、664.已知是线性空间的一组基，求向量在基下的坐标.5．设有P4的两个子空间，，，求的基与维数.6．设，，求及.7．设(1)证明：中与可以交换的矩阵集合W是的子空间；(2)求W的基和维数；(3)写出W中矩阵的一般形式.8．设(1)证明：全体与A可交换的矩阵组成的一子空间，记作;(2)当A=E时，求;(3)当时，求的维数与一组基.9．设U与W

10、分别n阶对称集合与n阶反对称集合构成的的子空间，证明：=U⊕W.10．已知的两个子空间，，证明：．11．在线性空间中，求由线性方程组：所确定的的子空间的一组基和维数.12.求齐次线性方程组解空间的一组基与维数.13.求齐次线性方程组解空间的一组基与维数.14.求齐次线性方程组解空间的一组基与维数.15．设在线性空间中，有向量组，，