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1、第6章向量空间6.1向量空间的定义和例子6.2子空间6.3向量的线性相关6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系。---皮尔斯(S. Peirce,1838－1914)不懂几何者勿入内(指:柏拉图学园)---柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年)不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门---匿名者向量空间（VectorSpaces）又称线性空间（LinearSpaces）.本章的特点及要求：向
2、量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容.向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构.向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.§6.1向量空间的定义和例子引例―――定义产生的背景.向量空间的定义――――抽象出的数学本质.进一步的例子―――加深对定义的理解.一些简单性质.1.引例―――定义产生的背景例1设F是一个数域，表示上m
3、×n矩阵的集合，回忆一下上所能够施行的运算（教材P182）：只有加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)O＋A=AA+(-A)=Oa(A+B)=aA+Ab(a+b)B=aB+Bb(ab)A=a(b)A还有一个显而易见的：8.1A＝A例2设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质.按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达式，……类似的问题许多，……，有
4、必要总结它们的共性：涉及两个集合（其中一个集合……）.涉及两种运算（什么样的运算？）.满足8条运算性质.2.向量空间的定义－抽象出的数学本质定义1设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：闭合性：(c1)V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V,一定有u+v属于V.(c2)F上的数对V上的向量有(闭合的)数乘运算，即：对任意F中数和V中元素v,一定有：v属于V.加法的性质：(a1)u+v=v+u，对所有u和v属于V.(a2)u+(v+w)=(u+v)+w,对所有
5、u、v和w属于V.(a3)V中存在一个向量，记作o,它满足：v+o=v对所有V中的v.(a4)给定V中每一个向量v,V中存在一个向量u满足：u+v=0.这样的u称为v的负向量.乘法的性质：(m1)(m2)(m3)(m4)1u=u对所有u属于V.3.进一步的例子――加深定义的理解例3按照定义1，是数域F上的向量空间，称为矩阵空间.（1）统称为ｎ元向量空间，统一用符号表示.（2）是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常用的一类.……例4数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间.证
6、明：根据多项式加法和数乘的定义，(c1)f(x)+g(x)F[x],任给f(x),g(x)F[x].(c2)f(x)F[x]，任给F，f(x)F[x].(a1)f(x)+g(x)=g(x)+f(x),任给f(x),g(x)F[x].(a2)[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)],任给f(x),g(x),h(x)F[x].(a3)0向量就是零多项式.(a4)f(x)的负向量为（-f(x)）.(m1)f(x)=f(x)).(m2)[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x).(m3)f(x)=f(x
7、)+f(x).(m4)1f(x)=f(x).注1：刚开始，步骤要完整.例5C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间.证明： 比照例3，给出完整步骤.例6（1）数域F是F上的向量空间.（2）R是Q上的向量 空间，R是否为C上的向量空间？注2：这个例子说明向量空间与F有关.例7设数域取R,集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：证明关于给定的运算构成R上的向量空间.证明：……注3：运算可以是通常的，可以重新定义的.如何理解运算？……注4：取数乘为通常的乘法如何？……，
8、向量空间与运算有关.注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2条需要解方程求出零向量与负向量.例8在上定义加法和数乘：证明关于给定运算构成R上的向量空间.证明：留作课外练习.4.简单性质（1）零向量0是唯一的.（2）一个向量v的负向量是唯一的，用（-v）表示.（3）0v＝0，0＝0.（4）(-v)=（5）
