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1、高等代数精品课程教案第三章矩阵的进一步讨论3.4矩阵的合同课题：矩阵的合同教学目的掌握矩阵的合同概念,复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形,与实对称矩阵A合同的实对教学难点角阵的求法,两个实对称矩阵与复对称矩阵合同的充要条件.复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形,与实对称矩阵A合同的实对教学重点角阵的求法,两个实对称矩阵与复对称矩阵合同的充要条件.教学过程备注前面已定义过矩阵的等价与相似关系，本节定义矩阵的合同概念，引入并分别讨论复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形.定义1设A,B都是数域F上的n阶矩阵，如果存
2、在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得TPAP＝B，那么就说,在数域F上B与A合同.矩阵的合同关系具有下列性质：1．自反性：每一个n阶矩阵A都和它自己合同；2．对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同；3．传递性：如果B与A合同，而C又与B合同，那么C与A合同.TTTTTT由B＝PAP，C＝QBQ即得(PQ)A(PQ)＝QPAPQ＝QBQ＝C.合同的矩阵有相同的秩.(根据初等变换不改变矩阵的秩)T如果A是一个对称矩阵，而B与A合同，即B＝PAP，那么TTTTTTTTB＝(PAP)＝PA(P)＝PAP＝B，所以B也是对称矩阵.由定理3.3.5即得定理3.4.1设A是
3、数域F上的n阶对称矩阵，则在F上A与一个对角形矩阵合同.T对于n阶对称矩阵A，如何求出一个可逆矩阵P，使得PAP为对角形新课矩阵呢?由定理3.3.5知，存在一些n阶初等矩阵P1，P2，…Ps，使讲解æc1öç÷TTTçc 2÷Ps…P2P1AP2P1…Ps＝ç÷＝L.(大写的λ)Oç÷ç÷c ènø令IP2P1…Ps＝P.由上可知，即在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形矩阵L时，TI就化为P，并且PAP＝L.对于对称矩阵A施行的一对相相同类型的列初等变换和行初等变换叫做对A施行的合同变换.【例1】
4、设æ00 0 3 öç÷ç0 3 -6 0 ÷A＝ç÷0 -6 12 -4 ç÷ç÷è3 0 -4 0 ø第1页共3页高等代数精品课程教案第三章矩阵的进一步讨论3.4矩阵的合同我们按定理3.3.5所给出的方法，对A施行列和行初等变换，将A变TT成PAP，使得PAP是一个对角形矩阵，同时对单位矩阵I4施行同样的列初等变换而得出P.(略)这里一定要掌握合同变换是成对出现的,对A进行行初等变换时,必须对A要施行相同类型的列初等变换.定理3.4.2设A是n阶对称矩阵，则存在复数域F上的n阶可逆矩阵P,使得TæIr 0 öPAP=ç÷è00ø其中r为A的秩.证:分两种情形
5、.(1)r=0.(2)r>0(证明略)æI0 ör A的秩由A唯一确定,所以矩阵ç÷也由A唯一确定.è00ø由上述定理可得n阶复对称矩阵合同的判定定理.定理3.4.3两个n阶复对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.证明:(略)【例２】设æ100öæ-1+i00öæ000öç÷ç÷ç÷A=0i-i,B=002i,C=02-i1ç÷ç÷ç÷çè0-i0÷øçè02i3+2i÷øçè01i÷ø由A与B合同,因为它们有相同的秩,但A与C不合同,因为它们的秩不相等.定理3.4.4设A是n阶实对称矩阵，则存在实数域上的n阶可逆矩阵P,使得æIp 00öTç÷PAP=
6、0-I0çr-p ÷çè000÷ø其中r为A的秩,0≤p≤r.证明:(同上,但实数又和复数不一样,具体讲清楚就行,证明略,)定理3.4.5(实对称矩阵的惯性定律)设A是n阶实对称矩阵，如果A在实数域上合同于如下矩阵B和C:æIp00öæIq 00öç÷ç÷B=0-I0,C=0-I0, çr-p÷çr-q ÷çè000÷øçè000÷ø那么p=q.证明:A既与B合同,又与C合同,所以由合同关系的对称性及传递性可知A与C合同,因此,存在n阶可逆矩阵T使得TB=TCT.第2页共3页高等代数精品课程教案第三章矩阵的进一步讨论3.4矩阵的合同小结与作业本节内容分为以下四个
7、问题讲1.矩阵的合同(P135定义1)(1)合同满足自反性,对称性,传递性;(2)实对称矩阵一定合同于一个实对角阵.2.与实对称矩阵A合同的实对角阵的求法(P136-137)若A合同于一个对角阵D,即æd1öç÷TPAP=çO÷=Dç÷dènø可用合同交换化A为D但若同时想得到P,就必须在的下方并一个单位阵IæAöæDöç÷ç÷课堂小结çL÷®çL÷ç÷ç÷èIøèP ø这样A为D时,I就化成了P(但对I只作列初等变换)3.两个复对称矩阵合同的充要条件(P139)4.两个实对称矩阵合同的充要条件(P143)注意:两个矩阵是否合同,与在哪个数域上考虑问题有关.例如
8、æ100öæ100öç÷
