高等代数第六章自测题.doc

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1、第六章线性空间自测题一.填空题(20分)1.若是线性空间V的一个基，则满足条件(1)是；(2)对V中任意向量，.2.数域P上的线性空间V的非空子集W是V的子空间的充要条件为.3.已知为线性空间V的子空间,为直和的充要条件为.4.设V和W是数域P上两个线性空间，V到W的一个同构映射满足如下三个条件：（1）是V到W的;（2）对，有;（3）对，有.5.向量空间V的基到基的过渡矩阵为_______.6.复数域作为实数域上的向量空间，则_____,它的一个基为____.复数域作为复数域上的向量空间，则____,它的一个基为____.二.选择题(10分)1.若均为线性空间的子空间，则下列

2、等式成立的是（）（A）；（B）；（C）；（D）2.按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P上线性空间的是：（）（A）；（B）；（C）；（D）.3.数域P上线性空间的维数为，且任意中向量可由线性表出，则下列结论成立的是：（）（A）；（B）；（C）；（D）4.设则（）（A）2；（B）3；（C）4；（D）545.设线性空间，则的基为：（）（A）；（B）；（C）；（D）三.(10分)在线性空间中求由线性方程组：所确定的的子空间的基和维数.四.(15分)设中的两个基分别为,，,.（1）求由基的过渡矩阵.（2）已知向量在基下的坐标为，求在基下的坐标.五.(15分)设,，求及.六.(1

3、5分)设:1）证明：全体与A可交换的矩阵组成的一子空间，记作;2）当A=E时，求;3）当时，求的维数与一组基.七.(15分)已知的两个子空间，，证明：．4答案:一.1.线性无关，可以由线性表示2.对V的加法和数乘封闭3.或4.线性映射，，5.6.2,它的一个基为1,i;2,它的一个基为1.二．CCBCA三.解:由，的维数为2，一组基为.四.解：(1)由,,,过渡矩阵.(2)4坐标为五.解:由,,,六.证明1）设与A可交换的矩阵的集合记为.显然，,，故.若是一数，，可得，故.所以构成的子空间。2）当时，.3）设为可与A交换的矩阵，由第四章习题5知，B只能是对角矩阵，故维数为；为

4、一组基.七.证明:显然,又,其中为对称矩阵,为反对称矩阵,故,从而.又因为,,有.故,故为直和.故4