实变函数第三章复习题及解答.doc

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1、第三章复习题一、判断题1、设是定义在可测集上的实函数，如果对任意实数，都有为可测集，则为上的可测函数。（√）2、设是定义在可测集上的实函数，如果对某个实数，有不是可测集，则不是上的可测函数。（√）3、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数，为可测集。（×）4、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数，为可测集。（×）5、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数，为可测集。（√）6、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数和（），为可测集。（×）7、设是零测集，是上

2、的实函数，则为上的可测函数。（√）8、若可测集上的可测函数列{}在上几乎处处收敛于可测函数，则{}在上“基本上”一致收敛于。（×）9、设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则在上“基本上”连续。（√）10、设为可测集，若上的可测函数列（），则{}的任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。（×）11、设为可测集，若上的可测函数列于，则（）。（×）二、填空题1、等于，等于。2、包含于，包含于；等于，等于。3、设，则等于。4、设，则等于。5、由于区间上的单调函数的不连续点所成的集为至多可数集，则为上的几乎处处连续函数，从而为上的可测函数。6、叙述可测函数

3、的四则运算性可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测。7、叙述可测函数与简单函数的关系简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限。8、叙述可测函数与连续函数的关系连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。9、叙述叶果洛夫定理设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。10、叙述鲁津定理设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数。11、若，（），则等于几乎处处于。三、证明题1、证明：上的连续函数必为可测函数。证明：设是上的连续函数，由连

4、续函数的局部保号性，对任意实数，是开集，从而是可测集。所以，是上的可测函数。2、证明：上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设是上的单调递增函数，对任意实数，记，由单调函数的特点得，当时，，显然是可测集；当时，，也显然是可测集。故是上的可测函数。3、证明：若，（），则于。证明：由于，而，所以，，由，（）得，。所以，，从而，即于。4、证明：若，（），则（）。证明：对任意，由于，所以，由可得，和至少有一个成立。从而，所以，。又由，（）得，，。所以，，即（）。5、若（），则（）。证明：因为，所以，对任意，有，。又由（）得，。所以，，即（）。