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时间:2017-12-26
《实变函数第三章复习题及解答》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章复习题一、判断题1、设是定义在可测集上的实函数,如果对任意实数,都有为可测集,则为上的可测函数。(√)2、设是定义在可测集上的实函数,如果对某个实数,有不是可测集,则不是上的可测函数。(√)3、设是定义在可测集上的实函数,则为上的可测函数等价于对某个实数,为可测集。(×)4、设是定义在可测集上的实函数,则为上的可测函数等价于对任意实数,为可测集。(×)5、设是定义在可测集上的实函数,则为上的可测函数等价于对任意实数,为可测集。(√)6、设是定义在可测集上的实函数,则为上的可测函数等价于对任意实数和(),为可测集。(×)7、设是零测集,是上的实函数,则为上的可测
2、函数。(√)8、若可测集上的可测函数列{}在上几乎处处收敛于可测函数,则{}在上“基本上”一致收敛于。(×)9、设为可测集上几乎处处有限的可测函数,则在上“基本上”连续。(√)10、设为可测集,若上的可测函数列(),则{}的任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。(×)11、设为可测集,若上的可测函数列于,则()。(×)二、填空题1、等于,等于。2、包含于,包含于;等于,等于。3、设,则等于。4、设,则等于。5、由于区间上的单调函数的不连续点所成的集为至多可数集,则为上的几乎处处连续函数,从而为上的可测函数。6、叙述可测函数的四则运算性可测函数经过四则运算所得的函数(
3、只要有意义)仍可测。7、叙述可测函数与简单函数的关系简单函数是可测函数;在几乎处处收敛的意义下,任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限。8、叙述可测函数与连续函数的关系连续函数必为可测函数;可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。9、叙述叶果洛夫定理设E是测度有限的可测集,则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。10、叙述鲁津定理设E是可测集,则E上的可测函数“基本上”是连续函数。11、若,(),则等于几乎处处于。三、证明题1、证明:上的连续函数必为可测函数。证明:设是上的连续函数,由连续函数的局部保号性,对任意实数,是开集,从而是可测集。所以,是上的
4、可测函数。2、证明:上的单调函数必为可测函数。证明:不妨设是上的单调递增函数,对任意实数,记,由单调函数的特点得,当时,,显然是可测集;当时,,也显然是可测集。故是上的可测函数。3、证明:若,(),则于。证明:由于,而,所以,,由,()得,。所以,,从而,即于。4、证明:若,(),则()。证明:对任意,由于,所以,由可得,和至少有一个成立。从而,所以,。又由,()得,,。所以,,即()。5、若(),则()。证明:因为,所以,对任意,有,。又由()得,。所以,,即()。
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