《实变函数》第三章期末复习题解答

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1、《实变函数》第三章期末复习题解答一、填空题1.有界可测集和无界可测集统称为（可）测集2.点集为可测集的充要条件是为（可）测集.3.任何开集，闭集都是（可）测集.4.任何波雷尔集都是（可）测集5.任何可测集必是一个波雷尔集与一个测度为零的可测集的（并集和差集）6.如果，则的任何子集也可测且测度为（零）．二、单选题1.至少有一个内点的可测集的测度一定（A）零．A＞B＜C＝D以上答案都不对2.中任何可测集都可表为至多可列个互不相交的有界可测集的（B）A交集B并集C交集的补集D并集的补集3.设E是有限点集或可列点集，则=（A）A0B1

2、CDe4.可列个外侧度为零的集合的并集的外侧度为（A）A0B1C2D不存在5.若（C）0，则E为可测集。A＞B＜C＝D≠6.设A和B均可测，且.若﹨)=0,则（C）A＞B＜C＝D≠三、证明题或计算题1..设都是中的点集，其中是可测集，并且.试证也是可测集.　　证因可测，，所以由卡拉皆屋独利条件，得　　　　　　　因为.所以.由习题3中的第6题可知是可测集.由此可知是可测集.32.证明若为有界集，则．　　证 因为为有界集，故存在中的长方体，使．由外测度的单调性，可知，但，所以．3.设E[0，1]，且=0.求的值.解：令E为[0，1

3、]中所有有理数集合，则=0，但由于=[0，1]，故=[0，1]=14.证明[0，1]中的无理数集可测且测度为1.证明：设[0，1]中的有理数集为，[0，1]中的无理数集为，则，且[0，1]=.由于为可测集，故可测且侧度为0，又因为=[0，1]-，且[0，1]和都是可测集，故可测.于是从[0，1]=，及测度的可加性得[0，1]=，因此=1.5.设均为可测集，，且＜+∞，则﹨＝证明:因为，所以﹨.由题设条件＜+∞，于是=﹨.故﹨＝6．设是[0，1]中的一列可测集，且对任意正整数，有＞1-.求证（）=1.证明：由于，所以，于是（）≤

4、[0，1]=1.另一方面，由于对任意自然数，有＞1-，故1-＜≤（），.因此，令，得1≤（）.总之（）=1.37．设是互不相交的可测集，.证明.证明：由题设条件易知互不相交.令T=，则T∩=.由于是互不相交的可测集，故由推论3.2.1得=，即3