实变函数第二章复习题及解答.doc

《实变函数第二章复习题及解答.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章复习题一、判断题1、对任意，都存在。（√）2、对任意，都存在。（×）3、设，则可能小于零。（×）4、设，则。（√）5、设，则。（×）6、。（×）7、。（√）8、设为中的可数集，则。（√）9、设为有理数集，则。（√）10、设为中的区间，则。（√）11、设为中的无穷区间，则。（√）12、设为中的有界集，则。（√）13、设为中的无界集，则。（×）14、是可测集是可测集。（√）15、设{}是可测集列，则，都是可测集。（√）16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（√）17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。

2、（√）18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（√）19、若，则。（×）20、若是无限集，且，则是可数集。（×）21、若，则必为无界集。（√）22、在中必存在测度为零的无界集。（√）23、若，都是可测集，且，则。（×）24、和都是可测集，且，。（√）25、设为可测集，则。（×）26、设为可测集，且，则。（×）二、填空题1、若是可数集，则0；为可测集；0。2、若为可测集，则小于或等于；若为两两不相交的可测集，则等于。3、设为可测集，则大于或等于；若还有，则大于或等于。4、设为可测集，且，，则等于。5、设为的内点，则大于。6

3、、设为康托三分集，则为可测集，且0。7、0，+∞。8、叙述可测集与型集的关系可测集必可表示成一个型集与零测集的差集。9、叙述可测集与型集的关系可测集必可表示成一个型集与零测集的并集。三、证明题1、证明：若有界，则。证明：因为有界，所以，存在一个有限区间，使得，从而。2、证明：若，则为可测集。证明：对任意，，因为，可得，所以，，从而，所以，为可测集。3、证明：有理数集为可测集，且。证明：因为有理数集可数集，从而，所以，为可测集，且。4、证明：若，都是可测集，且，，则；若，则上面的结论还是否成立。证明：因为，且，所以，。又，所以，。若，则上面

4、的结论不一定成立。5、若中的区间为可测集，则中的开集为可测集。证明：由中开集的结构得，中的开集或为空集，显然是可测集；或为至多可数个互不相交的开区间的并集，而区间是可测集，至多可数个可测集的并集还是可测集，所以，它还是可测集。综上所述，结论成立。