实变函数第二章习题解答

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1、第二章习题参考解答第二章习题参考解答1:证明:有理数全体是中可测集,且测度为0.证:(1)先证单点集的测度为0.,令.,,因为,为开区间.故.所以可测且.(2)再证:中全体有理数全体测度为0.设是中全体有理数,,令.则是两两不相交的可测集列,由可测的可加性有:.法二:设,,令,其中是预先给定的与无关的正常数,则:.由得任意性,.2.证明:若是有界集,则.证明:若是有界.则常数,使,有,即,有,从而.所以3.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零?解:不能.事实上,设,中有一个内点.,使得.则9第二章习题参考解答所以.4.在上能否作一个测度为,但又异于的闭集?解:不能事实上,如果有

2、闭集使得.不失一般性,可设且.事实上,若,则可作,.且.这样,我们可记为新的,从而.如果,即,而是开集,故是的一个内点,由3题,.这与矛盾.故不存在闭集且5.若将§1定理6中条件去掉,等式是否仍成立?解:§1定理6中条件是不可去掉的.事实上,,令,则是两两相交的可测集列,由习题一得15题:.故,但,.所以.从而.6.设,是中具有下述性质的可测集列:,使,证明:证:事实上,,因为,7.证明:对任意可测集,下式恒成立..证明:且故.即9第二章习题参考解答又因为.且,所以故,从而8.设是,是中的两个可测集且满足,证明:.证:.又因为所以9.设,,是中的两个可测集,且,证明:证:=.所以

3、又因为===+].所以=因为.所以.10.证明:存在开集,使证明:设是闭区间的一切有理数,对于,令9第二章习题参考解答,并且是中开集.而,,故.11.设是中的不可测集,是中的零测集,证明:不可测.证明:若可测.因为,所以.即.故可测.从而可测,这与不可测矛盾.故不可测.12.若是中的零测集,若闭集是否也是零测集.解:不一定,例如:是中的有理数的全体..,但.13.证明:若是可测集,则,存在型集,型集,使,证明:由P51的定理2,对于,存在型集,使得.由得可测性,.则..即,.再由定理3,有型集使得.且15.证明:有界集可测当且仅当,存在开集,闭集,使得.证明:,由已知,存在开集,

4、闭集使得.令,则.,.所以,.即是零测集,可测.从而,可测设是有界可测集9第二章习题参考解答因为,为开长方体.故,,存在开长方体序列,使得.有.另一方面,由得有界性,存在中闭长方体.记,则是中有界可测集.并且.由得有界可测性,存在开集有.因为,故.因此=令,,则是一个闭集,并且由,有.因此,从而,存在开集,闭集.有.由的任意性知,.即是零测集.从而,位于轴上的任意集,因此,为零测集.16.证明:若是单调增加集列(不一定可测)且,则证明:,即,有界并且故,即单调递增有上界.所以,存在并且下证:.由于有界,可作一个开长方体,有,.,因为,为开长方体}.故,存在开长方体序列9第二章习题

5、参考解答使得,且.令,则为有界开集,且,.,又令.且,则由知,是单调递增的可测序列,由P46的定理4,.又由,,有.从而.故.由得任意性,即得.从而,.17.证明:中的集类具有连续势.证明:为了叙述方便,我们仅以为例进行证明:用表示上的开区间,用表示上的一个点.表示上的所有开区间的集合;表示所有闭集;和分别表示所有的型集,所有型集.因为,又因为.故.所以.又因为,有.所以.又定义映射,,有.故是一个满射.所以.故.又定义:,,,则与都是满射.所以.即,.同理,.记时上的集的全体.因集合的“差”运算可以化成“交”运算,例如:9第二章习题参考解答.因此,中的每个元都是中可数元的并,交

6、后而成.故.从而,.即,上集的全体的势为.18.证明对任意的闭集,都可找到完备集,使得.19.证明:只要,就一定可以找到,使对,有.证明:设,.首先将划分成可数边长为的左开右闭的维长方体.则互不相交且至多可数.不妨记为,.因,则.故,有.又因互不相交且至多可数.故可记,其中,又由,.故,所以,,有.这样下去得一个单调递减的可测集列,其中:,.记,故闭集列单调递减且,.由闭集套定理,.对于,因,取,使.则,故.20.如果可测,,记.证明:9第二章习题参考解答也可测,且.证明:(1)先证:因为,为开长方体,对于开长方体序列,若,则,也是开长方体序列,且=.即.因此,为开长方体.另一方

7、面,,因为,为开长方体.故存在开长方体序列.所以,故.由得任意性,知.从而(2)再证:可测事实上,,,由得可测性,.故,.因此.可测.因此,当可测时,.下面是外测度的平移不变性定理.定理(平移不变性)设,,记.则证明:当是中开长方体时也是一个开长方体,且其相应的边均相同,故.9第二章习题参考解答如果是中的任意点集,对于德任意由开长方体序列构成的覆盖,也是,且仍是开长方体序列,故.所以,为开长方体=.即.下证:令,由上面的证明知,.所以.从而,.21.设,.是零测集,证明:也是零测

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