实变函数第四章复习题及解答.doc

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1、第四章复习题（二）一、判断题1、设{}是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果于，则。（×）2、设{}是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果（），则。（×）3、设{}是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果且（）或于，则。（×）4、设{}是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（√）5、设{}是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（×）6、设{}是可测集上的非负可测函数列，则。（×）7、设{}是可测集上的非负可测函数列，则。（√）8、设{}是可测集上的非负可测函数列，则。（√）9、设{}是可测集上的非正可测函数列，则。（√）10、设{}是可

2、测集上的可测函数列，则。（×）11、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，则。（×）12、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，{}为两两不交的可测集，则。（√）13、设在上可测，则。（×）14、设在上非负可测，则。（√）15、设在上勒贝格可积，则。（√）二、计算题1、设（），求。解：因为，且，由有界法则得，。2、设（），求。解：当时，，且。而，所以，。由勒贝格控制收敛定理得。3、设（），求。解：易见，且，而。由勒贝格控制收敛定理。4、设（），求。解：易见，且，而。由勒贝格控制收敛定理。三、证明题1、设，{}为上几乎处处有限的可测函数列，证明：在上，的充要条件是。证明：因为对任

3、意，有，所以。“充分性”：若，则，从而。“必要性”：若，则，又，且，由有界法则，。2、设{}为上非负可测函数列，且（），若，且存在，使得，则。证明：令（），由题设，易见单调递增，且，。又，即，由勒贝格控制收敛定理，即。3、设（）都是上的可测函数，，证明：在上几乎处处绝对收敛，其和函数在上勒贝格可积，并且。证明：记，由于，且。由勒贝格积分的几乎处处有限性，于，即在上几乎处处绝对收敛。由于于，且，由勒贝格控制收敛定理，其和函数在上勒贝格可积，且。4、利用上题的结论证明：记中的全体有理数排成的序列为{}，则在上几乎处处收敛。证明：因为，所以，。由上题结论，在上几乎处处绝对收敛

4、，从而在上几乎处处收敛。