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时间:2020-08-05
《《实变函数》第四章习题解答.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章习题参考解答1.设是上的可积函数,如果对于上的任意可测子集,有,试证:,证明:因为,而,.由已知,.又因为,所以,.故,,从而.即,,.2.设,都是上的非负可测函数,并且对任意常数,都有,试证:,从而,.证明:我们证,是同一个简单函数序列的极限函数.及,令,并且.则是互不相交的可测集,并且,定义简单函数.下面证明:,.,若,则,,所以,即;若,则可取正整数,时,.故,存在,.即,,.所以,,从而,.同理,,定义简单函数列,其中:,..同上一样可证明:,.因为,有.故,.从而,,有.即,,.因此.3.若,计算.解:设为有理数,,则.4.设是中个可
2、测集,若内每一点至少属于个集中的个集,证明:中至少有一个测度不小于.证:令,其中为上的特征函数,有,所以..如果每个,则.这与矛盾.从而,使得.5.设,都是上的可积函数,试证明:也是上可积函数.证明:(1)先证:设与都是上的可测函数且,若在可积,则在可积.事实上,,因为,故,即,其中:,.从而是单调递增有上界的数列,故:.又因为单调递增有上界,所以存在,并且,即.所以在可积.(2)再证:在上可积.事实上,因为,在上可积,所以与在上可积,从而+在上可积.又因为,由(1)。在上可积.6.设,是上的非负可测函数,,,试证明:.证明:,因为,所以,故.又因为
3、,由积分的绝对连续性(即,P103,定理4).,,使得对于任何可测集,,恒有.对于,由,得,存在,时,,有,从而.7.设为可测集,且,为上的非负可测函数,,试证:在上可积当且仅当级数收敛.证:设,,因为在可积,故.即,级数收敛.,因为,,又又.因为,所以.从而,在上可积.8.设是上的可积函数,证明:.证明:(1)先证:,存在时直线上的连续函数,使得.对于,记:.则:.则+=.因为在是可积的,故,,使,时,恒有,又因为是单调的集列,并且.从而,.所以,对于,,使得.对于,取,由连续扩张定理(第10页,定理3),存在闭集及上的连续函数,使得(i)(ii)
4、(iii)则,从而.(2)再证:,由(1)知,存在上的连续函数使得,因为在上一致连续,所以使得,时,恒有,++.因为时,,有,故.所以.故.9.设是上的非负可积函数,是任意常数,满足,试证:存在,使得.证明:设常数,合于,当时,存在,使得,不妨设.先证:在上连续,,,因为,由积分的绝对连续性(P85,定理4),,,,有.故,,因,,故.所以,.同理,对于,用上述完全类似方法可得.故,在上连续.又因为(根据P89的定义4).所以,使得.故,由在闭区间上的介值定理(连续函数的介值定理),,使得,有.10.设是上的可测函数,是大于1的数,2是的共轭输,即.
5、如果对任意,都有,试证.11,试证:(i).(ii).证明:(i)时,(寻找控制函数)当时:;当时:.令,从而,,且在是可积的,故在是可积的.又因为.由控制收敛定理,.(ii),定义,并且,.,有.下面证明:,.事实上,,令,,取,则.又记,又因.所以,关于单调递减,且.故,有,即.故在单调增加,从而,.所以.因此,,..因为在上可积,由控制收敛定理,.12.设,试证明:在上当且仅当.证明:,,因为.因为(在上),所以,.故在上,.又因为,,且,由有界收敛定理,有.对于,因.故,.从而.即.§4.2积分极限定理一.定理(非负可测函数序列的积分与极限可
6、交换性)二.控制收敛定理.定理4(定理的绝对连续性定理)若在上可积,则,,:,有.证明:因为可积,所以可积(只需证:,),.,.又因为.所以,使.`要找,使,,有.定理5(控制收敛定理)设(i),是上可测函数序列.(ii)存在非负可积函数使得,.(iii),.则在上可积,并且.基础知识复习Th(P60,定理4)Th(P61,定理5)存在子列控制收敛定理的证明:因为,由Th,存在子列.因此,在上可测.又因为,.,所以,故在上可积,从而,故在上可积,下证:.(1)先证:时,有.,,记.则.因为在上可积,由积分的绝对连续性,,使,,有.又因为,所以,时,有
7、.故.从而.即,.(2)再证:时,也有.,因为,所以,有.则.因为(由1的证明),所以,有.即,.从而,推论(有界收敛定理).设(i)(ii),(常数)且在上可测(iii)则在上可积,且.定理6.在上可积在上的间断点集是一个零测集.三.定理.定义1.设是可测集,是上的一簇可积函数,称是上的积分等度绝对连续函数簇,如果,,,,恒有.基本性质:设是可测集,是上的一簇可积函数,则在上是积分等度绝对连续的,,,,恒有.证明:,因为在上是积分等度绝对连续,所以,,,有.记,,则且.所以,.直接的.定理7.(定理).设(i).(ii)是上积分等度绝对连续函数簇.
8、(iii).则在上可积,且.证明:先证:在上可积.(找一个可积函数,使得(1)先证:,,使得,恒有.事实上,
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