实变函数第五章复习题及解答.doc

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1、实变函数第五章复习题一、判断题1、设是定义在上的实函数，由于总存在，所以一定是上的有界变差函数。（×）2、设是定义在上的实函数，是上的有界变差函数。（√）3、设是上的单调函数，则一定是上的有界变差函数。（√）4、设是上的有界变差函数，则既可表示成两个递减函数的差，也可表示成两个递增函数的差。（√）5、有界变差函数一定是几乎处处连续的函数，也一定是几乎处处可微的函数。（√）6、设是定义在上的实函数，，，则。（√）7、设，，则是上的有界变差函数的充要条件是既是上的有界变差函数，也是上的有界变差函数。（√）8、若是上的绝对

2、连续函数，则既是上的一致连续函数，也是是上的连续函数。（√）9、若是上的绝对连续函数，则一定是上的有界变差函数。（√）10、若是上的有界变差函数，则一定是上的绝对连续函数。（×）11、若是上的绝对连续函数，是上的绝对连续函数，则，都是上的绝对连续函数。（√）12、若是上的绝对连续函数，则在上勒贝格可积。（√）二、填空题1、叙述有界变差函数的Jordan分解定理闭区间上的有界变差函数必可分解成两个单调递增函数的差或两个单调递减函数的差。2、若在上单调递增，则小于或等于。3、若是上的绝对连续函数，则等于。三、证明题1、若

3、是上的单调函数，则是上的有界变差函数，且。证明：不妨设是上的单调增函数，任取的一个分割则，所以，。2、若在上满足：存在正常数，使得对任意，都有，则（1）是上的有界变差函数，且；（2）是上的绝对连续函数。证明：（1）由题设，任取的一个分割则，所以，是上的有界变差函数，且。（2）在内，任取有限个互不相交的开区间，。由于，于是，对任意，取，则当时，有，即是上的绝对连续函数。3、若是上的绝对连续函数，则是上的有界变差函数。证明：由是上的绝对连续函数，取，存在，对任意有限个互不相交的开区间，，只要时，有。现将等分，记分点为，使

4、得每一等份的长度小于。易得，即是上的有界变差函数。又，所以，，即是上的有界变差函数。4、若是上的有界变差函数，则（1）全变差函数是上的递增函数；（2）也是上的递增函数。证明：（1）对任意，，注意到，有，即是上的递增函数。（2）对任意，，注意到，有，即是上的递增函数。5、证明Jordan分解定理：是上的有界变差函数可表示成上的两个增函数之差。证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。事实上，，由上题和都是上的递增函数。