实变函数第二章习题解答

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1、第二章习题参考解答第二章习题参考解答1：证明：有理数全体是中可测集，且测度为0.证：（1）先证单点集的测度为0.，令.,，因为，为开区间.故.所以可测且.（2）再证：中全体有理数全体测度为0.设是中全体有理数，，令.则是两两不相交的可测集列，由可测的可加性有：.法二：设，，令，其中是预先给定的与无关的正常数，则：.由得任意性，.2.证明：若是有界集，则.证明：若是有界.则常数，使，有，即，有，从而.所以3.至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？解：不能.事实上，设，中有一个内点.,使得.则9第二章习题参考解答所以.4.在上能否作一个测度为，但又异于的闭集？解：不能事实上，如果有闭集使得.不

2、失一般性，可设且.事实上，若，则可作，.且.这样，我们可记为新的，从而.如果，即，而是开集，故是的一个内点，由3题，.这与矛盾.故不存在闭集且5.若将§1定理6中条件去掉，等式是否仍成立？解：§1定理6中条件是不可去掉的.事实上，，令，则是两两相交的可测集列，由习题一得15题：.故，但，.所以.从而.6.设，是中具有下述性质的可测集列：，使，证明：证：事实上，，因为，7.证明：对任意可测集，下式恒成立..证明：且故.即9第二章习题参考解答又因为.且，所以故，从而8.设是，是中的两个可测集且满足，证明：.证：.又因为所以9.设，，是中的两个可测集，且，证明：证：=.所以又因为===+].所以=

3、因为.所以.10.证明：存在开集，使证明：设是闭区间的一切有理数，对于，令9第二章习题参考解答，并且是中开集.而，，故.11.设是中的不可测集，是中的零测集，证明：不可测.证明：若可测.因为，所以.即.故可测.从而可测，这与不可测矛盾.故不可测.12.若是中的零测集，若闭集是否也是零测集.解：不一定，例如：是中的有理数的全体..,但.13.证明：若是可测集，则，存在型集，型集，使，证明：由P51的定理2，对于，存在型集，使得.由得可测性，.则..即，.再由定理3，有型集使得.且15.证明：有界集可测当且仅当，存在开集，闭集，使得.证明：，由已知，存在开集，闭集使得.令，则.，.所以，.即是零

4、测集，可测.从而，可测设是有界可测集9第二章习题参考解答因为，为开长方体.故，，存在开长方体序列，使得.有.另一方面，由得有界性，存在中闭长方体.记，则是中有界可测集.并且.由得有界可测性，存在开集有.因为，故.因此=令，，则是一个闭集，并且由，有.因此，从而，存在开集，闭集.有.由的任意性知，.即是零测集.从而，位于轴上的任意集，因此，为零测集.16.证明：若是单调增加集列（不一定可测）且，则证明：，即，有界并且故，即单调递增有上界.所以，存在并且下证：.由于有界，可作一个开长方体，有，.,因为，为开长方体}.故，存在开长方体序列9第二章习题参考解答使得，且.令，则为有界开集，且，.，又令

5、.且，则由知，是单调递增的可测序列，由P46的定理4，.又由，，有.从而.故.由得任意性，即得.从而，.17.证明：中的集类具有连续势.证明：为了叙述方便，我们仅以为例进行证明：用表示上的开区间，用表示上的一个点.表示上的所有开区间的集合；表示所有闭集；和分别表示所有的型集，所有型集.因为，又因为.故.所以.又因为，有.所以.又定义映射，，有.故是一个满射.所以.故.又定义：，,,则与都是满射.所以.即，.同理，.记时上的集的全体.因集合的“差”运算可以化成“交”运算，例如：9第二章习题参考解答.因此，中的每个元都是中可数元的并，交后而成.故.从而，.即，上集的全体的势为.18.证明对任意的

6、闭集，都可找到完备集，使得.19.证明：只要，就一定可以找到，使对，有.证明：设，.首先将划分成可数边长为的左开右闭的维长方体.则互不相交且至多可数.不妨记为，.因，则.故，有.又因互不相交且至多可数.故可记，其中，又由，.故，所以，，有.这样下去得一个单调递减的可测集列，其中：，.记，故闭集列单调递减且，.由闭集套定理，.对于，因，取，使.则，故.20.如果可测，，记.证明：9第二章习题参考解答也可测，且.证明：（1）先证：因为，为开长方体，对于开长方体序列，若，则，也是开长方体序列，且=.即.因此，为开长方体.另一方面，，因为，为开长方体.故存在开长方体序列.所以，故.由得任意性，知.从

7、而（2）再证：可测事实上，，，由得可测性，.故，.因此.可测.因此，当可测时，.下面是外测度的平移不变性定理.定理（平移不变性）设，，记.则证明：当是中开长方体时也是一个开长方体，且其相应的边均相同，故.9第二章习题参考解答如果是中的任意点集，对于德任意由开长方体序列构成的覆盖，也是，且仍是开长方体序列，故.所以，为开长方体=.即.下证：令，由上面的证明知，.所以.从而，.21.设，.是零测集，证明：也是零测