高等代数第八章-λ-矩阵(北大版).pptx

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1、2021/7/30数学与应用数学§2λ－矩阵的标准形§3不变因子§1λ－矩阵§4矩阵相似的条件§6若当(Jordan)标准形的理论推导§5初等因子小结与习题第八章λ─矩阵2021/7/30§8.1λ─矩阵数学与应用数学一、λ－矩阵的概念二、λ－矩阵的秩§8.1λ─矩阵三、可逆λ－矩阵2021/7/30§8.1λ─矩阵数学与应用数学定义：若矩阵A的元素是的多项式，即的元素，则设P是一个数域，　是一个文字，　　是多项式环，称A为―矩阵，并把A写成一、λ－矩阵的概念注：①∴数域P上的矩阵—数字矩阵也是―矩阵.2021/7/30§8.1λ─矩阵数学与应用数学其定义

2、与运算规律与数字矩阵相同.③对于的―矩阵，同样有行列式它是一个的多项式，且有这里为同级―矩阵.④与数字矩阵一样，―矩阵也有子式的概念.―矩阵的各级子式是的多项式.②―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，2021/7/30§8.1λ─矩阵数学与应用数学若―矩阵　中有一个级子式不为零，而所有级的子式（若有的话）皆为零，则称的秩为r.二、λ－矩阵的秩定义：零矩阵的秩规定为0.2021/7/30§8.1λ─矩阵数学与应用数学三、可逆λ－矩阵一个的―矩阵称为可逆的，如果有一一个的―矩阵，使定义：这里E是n级单位矩阵.称　　为的逆矩阵(它是唯一的)，记作2021/

3、7/30§8.1λ─矩阵数学与应用数学（定理1）一个的―矩阵可逆是一个非零常数.证:“”若可逆，则有，使两边取行列式，得都是零次多项式，即为非零常数.判定：2021/7/30§8.1λ─矩阵数学与应用数学“”设　是一个非零常数.为　　的伴随矩阵，则可逆.2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学一、λ－矩阵的初等变换二、λ－矩阵的初等矩阵§8.2λ─矩阵的标准形三、等价λ－矩阵四、λ－矩阵的对角化2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:①矩阵两行（列）互换位置；②矩阵的某一行（列）乘以非零常

4、数c；是一个多项式.③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，一、λ－矩阵的初等变换定义：2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学代表第行乘以非零数c；代表把第行(列)的倍加到第为了书写的方便，我们采用以下记号代表两行(列)互换；注：行(列).2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学将单位矩阵进行一次―矩阵的初等变换所得的矩阵称为―矩阵的初等矩阵.二、λ－矩阵的初等矩阵定义：注：①全部初等矩阵有三类：i行j行2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学i行j行i行2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用

5、数学②初等矩阵皆可逆.③对一个的―矩阵作一次初等行变换就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学为　－矩阵，则称与等价.―矩阵　　若能经过一系列初等变换化1)―矩阵的等价关系具有:反身性:与自身等价.对称性:与等价与等价.传递性:与等价,与等价与等价.三、等价λ－矩阵定义：性质：2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学2)与等价存在一系列初等矩阵使1.（引理）设―矩阵的左上角元素且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与

6、等价的矩阵，它的左上角元素，且.四、λ－矩阵的对角化2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学证：根据中不能被除尽的元素所在的位置，分三种情形来讨论:i)若在的第一列中有一个元素不能被除尽，其中余式，且对作下列初等行变换:则有2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学的左上角元素符合引理的要求，故　　为所求的矩阵.ii)在的第一行中有一个元素不能被除尽，这种情况的证明i)与类似.iii)的第一行与第一列中的元素都可以被除尽，但中有另一个元素2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学被除尽.对作下述初等行变换:我们设

7、2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学矩阵　　的第一行中，有一个元素：不能被左上角元素除尽，转为情形ii).证毕.2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵都等价于下列形式的矩阵其中是首项系数为1的多项式，且称之为的标准形.2021/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学证:经行列调动之后，可使的左上角元素若不能除尽的全部元素，由引理，可以找到与等价的，且由引理，又可以找到与等价的　　，且如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－矩阵：左上角元素，若还不能除尽的全部元素，左上角元素，20

8、21/7/30§8.2λ─矩阵的标准形数学与应用数学但次数是非负整