高等代数教案第八章λ-矩阵

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1、第八章矩阵§1矩阵设是数域，是一个文字，作多项式环，一个矩阵如果它的元素是的多项式，即的元素，就称为矩阵.在这一章讨论矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.因为数域中的数也是的元素，所以在矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与矩阵相区别，把以数域中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用等表示矩阵.我们知道，中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.行列式的定义也只用到其中元素

2、的加法与乘法，因此，同样可以定义一个的矩阵的行列式.一般地，矩阵的行列式是的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.定义1如果矩阵中有一个级子式不为零，而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为.零矩阵的秩规定为零.定义2一个的矩阵称为可逆的，如果有一个的矩阵使,(1)这里是级单位矩阵.适合(1)的矩阵(它是唯一的)称为的逆矩阵，记为..定理1一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是一个非零的数.§2矩阵在初等变换下的标准形矩阵也可以有初等变换定义3下面的三种变换叫做矩阵的初等变换：(1)矩阵的两行（列）互换位置；(2)矩阵的某一行（列）乘以非零的常数

3、；(3)矩阵有某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式.和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第行的倍加到第行上得仍用表示由单位矩阵经过第行第行互换位置所得的初等矩阵，用表示用非零常数乘单位矩阵第行所得的初等矩阵.同样地，对一个的矩阵作一次初等变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有.由此得出初等变换具有可逆性：设矩阵用初等变换变成，这相当于对左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘就变回，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由可用初等变换变回.

4、定义4矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为.等价是矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：(!)反身性：每一个矩阵与它自身等价.(2)对称性：若与等价，则与等价.(3)传递性：若与等价，与等价，则与等价.应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵与等价的充要条件为有一系列初等矩阵，使.(2)这一节主要是证明任意一个矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.引理设矩阵的左上角元素，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低.定理2任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵,其中

5、是首项系数为1的多项式，且.这个矩阵称为的标准形.例用初等变换化矩阵为标准形.§3不变因子现在来证明，矩阵的标准形是唯一的.定义5设矩阵的秩为，对于正整数，中必有非零的级子式.中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子.由定义可知，对于秩为的矩阵，行列式因子一共有个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.定理3等价的矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为(1)其中是首项系数为1的多项式，且.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个级子式一定为零.

6、因此，为了计算级行列式因子，只要看由行与列组成的级子式就行了，而这个级子式等于显然，这种级子式的最大公因式就是定理4矩阵的标准形是唯一的.证明设(1)是的标准形.由于与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数;的级行列式因子就是.(2)于是.(3)这就是的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被的行列式因子所唯一决定的，所以的标准形是唯一的.定义6标准形的主对角线上非零元素称为矩阵的不变因子.定理5两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.由(3)可以看出，在矩阵的行列式因

7、子之间，有关系式.(4)在计算矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.例如，可逆矩阵的标准形.设为一个可逆矩阵，由定理1知,其中是一非零常数，这就是说于是由(4)可知，从而因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵与等价的充要条件是有一系列初等矩阵，使特别是，当时，就得到定理6矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.推论两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一

8、个可逆矩阵，使.§4矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特征向