高等代数.第八章.λ-矩阵(介绍).课堂笔记

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1、高等代数课堂笔记第九章第八章λ-矩阵（介绍）本章主要介绍如何求给定的复数矩阵的若尔当标准形.已学知识回顾：第七章第五节∀?∈P?×?，?与对角矩阵相似当且仅当?有?个线性无关的特征向量.事实上?′??=????(?1,?2,…,??),?∈P?×?，?可逆，⟺??=?∙????(?1,?2,…,??)⟺???=????,?=1,2,…,?，其中，??为?的第?个列向量，即?=(?1,?2,…,??).第九章第六节∀?∈P?×?且?=?′，?正交相似于对角阵，即存在正交阵?，使得?′??=????(?1,?2,…,??).第七章第八节

2、∀?∈ℂ?×?，?与若尔当形矩阵?相似，且出去若尔当块排列次序外，?是唯一的（称为?的若尔当标准形）.——定理14这里，?级若尔当块是指如下形式的复数矩阵：?01?01⋱，记作?(?0,?),?0∈ℂ，⋱?0[1?0]而由若干个若尔当块合成的分块对角矩阵?1s?2?=[⋱]，称为若尔当形矩阵，其中??=?(??,??),tni.i1???×?问题：给定?∈ℂ?×?，如何求?的若尔当标准形？§8.1λ-矩阵的有关概念与结论设P为数域，P[?]为数域P上的?的一元多项式全体，则称元素取自P[?]的矩阵为λ-矩阵，用记号?(?),?

3、(?),…等表示；为区别起见，称先前的矩阵为数字矩阵，由于P⊆P[?]，因此数字矩阵亦可视为λ-矩阵.1.λ-矩阵的秩：若λ-矩阵?(?)中有一个?(?≥1)级子式不为零，而所有?+1阶子式全为零，则称?(?)的秩为?，记作?(?(?))=?，若?(?)=?，则规定?(?(?))=0.2.λ-矩阵的逆：设?(?)为?级λ-矩阵，若存在?级λ-矩阵?(?)，使得?(?)?(?)=?(?)?(?)=??，则称?(?)为可逆的，并?(?)称为?(?)的逆，记作?−1(?).定理1?级λ-矩阵?(?)可逆⟺

4、?(?)

5、=C≠0,C∈P.20

6、11-06-15第1页高等代数课堂笔记第九章§8.2λ-矩阵在初等变换下的标准形1.λ-矩阵的初等变换与初等矩阵：△与数字矩阵相仿，λ-矩阵有以下三种初等变换：(1)交换两行（列）;(2)用非零常数乘矩阵某行（列）;(3)用矩阵的某一行（列）的?(?)倍加到另一行（列）(?(?)∈P[?]).相应的初等变换矩阵有三种：(1)P(?,?)——由单位矩阵?经过第?行与第?行交换得到的矩阵;(2)P(?(?)),?≠0——用非零常数?乘单位矩阵?得到的矩阵;(3)P(?,?(?(?)))——将单位矩阵第?行的.?(?)倍加到第?行得到的矩

7、阵.△用初等λ-矩阵左（右）乘某λ-矩阵，相当于对这个λ-矩阵作一次相应的行（列）初等变换.2.λ-矩阵的等价：若?(?)经过若干次（行/列）初等变换化为?(?)，则称?(?)与?(?)等价，此时存在可逆矩阵?(?)与?(?)，使得?(?)=?(?)?(?)?(?).定理2设?(?)为?×?矩阵，且?(?(?))=?，则?(?)可经过初等变换化为如下形式的矩阵：d1d2dr，(1)00其中?≥1，??(?)为?的首一多项式，且??(?)

8、??+1(?)，(1)称为?(?)

9、的标准形式或史密斯标准形，且标准形唯一.例1.P334、例.1−?2?−1?1−?2?−11?(?)=(??2−?)→(??20)232?1+?3231+??+?−1−?1+??+?−1112?−11−?12?−11−?100→(0?2?)⟶(0?2?)⟶(0?2?)(?1,?2)1?3+?−11+?20?3−??2+?0?3−??2+?100⟶⋯⟶(0?0)=?(?).00?2+?第2页高等代数课堂笔记第九章§8.3λ-矩阵的不变因子、初等因子、行列式因子1.不变因子：△λ-矩阵?(?)的史密斯标准形中主对角线上非零元?1(?),

10、?2(?),…,??(?)称为?(?)的不变因子.△任意取定复数矩阵?∈ℂ?×?，将?的特征矩阵(??−?)的不变因子叫做?的不变因子.2.初等因子：对任意的?级复数矩阵，将其特征矩阵(??−?)的每一次数大于0的不变因子分解为互不相同的一次．．．．因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算），称为?的初等因子.．．．．．．．．．．．．．3.行列式因子：设?(?)的秩为?，对于整数?,(1≤?≤?)，?(?)中全部?级子式的首一公因式称为?(?)的行列式因子，记作??(?).定理3等价的λ-矩阵有相同的行列式因

11、子.注记：△∀?∈ℂ?×?，?的特征矩阵??−?的行列式因子称为的行列式因子.?1(?)⋱?×?△由定理可知：?(?)⟶(?(?))，?∈ℂ?⋱()的行列式因子与不变因子有如下关系：?1(?)=?1(?)，?2(?)=?1(?)?2(