《高等代数》学习笔记

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1、《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。第一章行列式§1.1定义D×−×㠱A这是行列式（或写为

2、D

3、）这是矩阵，注意区别ax+ax+axbax+ax+axb这是三元线性方程组ax+ax+axbaaaaaaaaa+aaa+aaaD

4、aaa−aaa−aaa−aaa代数和3阶行列式右下斜线为正左下斜线为负§1.2逆序数逆序数τj,j,⋯,j偶排列，正号n奇排列，负号n阶排列，有n!个§1.3n阶行列式的代数和判断逆序数的奇偶性aa⋯anaa⋯anD−τj,j,⋯,jnaaajj⋯njn⋯⋯⋯⋯⋯⋯aa⋯aj,j,⋯,jnnnnnn阶排列§1.4行列式性质1、行列式转置值不变：DTD2、k可以乘上某行(列)：kDrowi3、加法：某行之和展开为两行列式之和：Drow(a+b

5、)Drow(a)+Drow(b)4、互换两行(列)：负号Drowi↔rowk−D5、两行相同(成比例)：零值Drowik×rowk06、某行乘以k加到另一行：值不变Dk×rowi+rowkD~1~§1.5代数余子式所在行列的和(同等于逆序数τ)A(−)i+jMijij余子式：删去i,j所在的行与列后得到的n-1阶行列式代数余子式n阶行列式

6、D

7、akAk+akAk+⋯+aknAknk,,⋯,n即展开第k行(列)§1.6范德蒙行列式⋯aaa⋯anaaa⋯a

8、D

9、n(ai−aj)⋯⋯⋯

10、≤j≤an−an−an−⋯an−表示所有可能的差i>jn如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)第二章线性方程组§2.1克莱姆法则baaDbaaD、DxDi(D≠0)类似左边解集：iDbaa系数行列式(b在1列)DDD当D≠0时，方程组有唯一解：x,x,x.(D≠0)该解法适用于n阶DDD只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则§2.2消元法初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。如果线性方程组D≠0，则初等变换

11、后的上三角矩阵，元首都不为0。§2.3数域P：包含0、且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R，有理数Q，复数C§2.4n维向量000000α(a,a,a,⋯,an)(ε,ε,ε,ε,)000n维基本向量组000数量乘积：kα零向量：0负向量：−α行向量与列向量：αrow(column)~2~§2.5线性相关rank=n，有唯一解βkα+kα+⋯+ksαsrank

12、,⋯,αn)(β,β,⋯,βn)kα+kα+⋯+ksαs0常数项为0的充要条件α线性相关α线性无关有待更进一步补充K有解，且不全0K只有零解D＝0D≠0snsn时不一定αi都可被(α,α,⋯,αn)线性表出αi不能被(α,α,⋯,αn)线性表出不可逆，因为分母不能为0可逆r

13、的向量个数行秩＝列秩＝行列式秩(D≠0)最高阶子式§2.7求全部解和基础解系的步骤详见书P154-155页例6初等变换第一步：求梯阵增广矩阵A梯阵第二步：求一般解求x,x,⋯,xr的一般解注：如果是求矩阵化和求特征值，第三步：求特解γ0设自由x0，求γ0只需求基础解系ηi，又称特征向量n-r个第四步：求齐次的一般解使常数b0，求一般解x,x,⋯,xr第五步：求基础解系将εi代入自由x，求基础解系η,η,⋯,ηn−rεi即n维基本向量组即xr+,xr+,⋯,xn−r第六步：答：得全部解γγ0+kη+kη+⋯

14、+kn−rηn−r全部解特解基础解系~3~第三章矩阵附1：矩阵名词汇总：方阵：sn伴随矩阵：A∗系数矩阵：s×n初等变换b即系数等价矩阵：A