高等代数教案北大版第八章

《高等代数教案北大版第八章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、授课内容第八章入一矩阵第一讲入一矩阵教学时数2学时授课类型讲授法与练习法教学目标使学生了解九■矩阵的概念，以及入-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握X-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。教学重点入■矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。教学难点求入■矩阵的逆矩阵教学方法与手段启发式讲授，讨论，练习n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量•那么当只有mm

2、n标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例•此外，Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明，矩阵分解，线性微分方程组的求解等等.教学由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关，而从函数的角度看，特征多项九式实际上是特殊的函数矩阵(元素是函数的矩阵)，这就引出对■矩阵的研究・X一、■矩阵及其标准型过九=九入定义1称矩阵A()(f())为■矩阵，其中元素••程U九=f()(i・•.'JA为数域F上关于的多项式・XX111=1111,2,,m;j1,2,，n)定义2称n阶-

3、矩阵A()是可逆的，如果有(入)(X)=(九)(九)=ABBAI九入n并称B()为A()的逆矩阵•反之亦然./-det(A(Z))=ch0.证明：(1)充分性设A(aJ=d是一个非零的数・落示A(7.)的伴随矩阵，则J丄a(入)也是一个z■矩阵，且有因此，A(?)是可逆的.(2)必要性设A(有可逆矩阵B("),则A(，JB(/)=l两边取行列式有即都是非零常数B(/'都是多项式，而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式•证毕.例题1判断■矩阵(2+12X+.X1是否可逆・解虽然入一1KA()是满秩的，但九A不是非零常数，因而A()是不可

4、逆的・注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的•这么定义可逆是有必要的，可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去X入定义3如果矩阵A()经过有限次的初等变换化成矩阵B(),则称矩阵AA入XA(入)三B(Z)定理2矩阵A(X)与B(门等价的充要与条件是存在可逆矩阵P(/.卜Q(/.)，使得B(X)=P(X)A(X)Q(X)证明因为A(Z)B(人加以A(》可以经过有限次初等变换变成Bp・),即存在初等矩阵R(x),b(a),III,Ps(>.)与初等矩阵Q(Z),Q2(Z),

5、

6、

7、,Qt(Z)使得B⑴hPGJPGJ川R仏)A

8、⑴QGJQ(Z)

9、

10、

11、Qt(/.)1212pC)=P(")P(入)川R(h，12X=XXIIIXQ()Q()Q()Q()・12t入就是所要求的■矩阵•它们都是初等矩阵的乘积，从而使可逆的•证毕.定义4矩阵A()的所有非零k阶子式的首一(最高次项系数为1)最大⑺)入公因式Dk称为A()的k阶行列式因子・定理2等价矩阵具有栢同的秩和相同的各级行列式因子X°证明.设海阵a()经过一次行初等变换化沟了比)，f(Ng()分别是N)与：6(_)1£血从阶丫亍列式因子蒲要证明f()=g()•分3种情舛讨论:(1)A)，JzB(),此时冃)的每个kp*子式

12、或看等于A)的某个k阶子式，或眷与)的某个阶子式反号，所以，f()是氏)的k阶子式的公因子，从而f()

13、g().（2）4巧_座匚L耳鼻）,此时，6（入）的每个k阶子式或者等于A巧的某个k阶子式，或者等于A儿）的某个k阶子式的c倍•所以，f（）靂&）^-k阶子式的公因式，从而f（X

14、g（卜（3）心*B（九），此时，B（'）中那些包含i行与j行的阶子式和3a那些不包含i行的k阶子式都等于AA）中对应的k阶子式；B（人）中那些包含iA行但不包含j行的k阶子式，按i行分成两个部分，而等于心的一个k阶子式+07f与另一个k阶子式的一（）倍的和,，也就

15、是A）的两个k阶子式的线性组合,AAA所以，f（几）是的k阶子式公因式，从而f（‘）

16、a、对于列变换，可以一样地讨论•总之，理九）经过一系列的初等变换变成q厲qAb（）,那么f（）fa犷又由于初等变换的可逆性月）'经过一系列的初等变AAA换可以变成心一），从而也有a）ff（）九当A（入）所有的阶子式为零时，B（入）所有的k阶子式也就等于零；反之亦然.故A入）与$人）又相同的各阶行列式因子，从而有相同的秩.证毕.既然初等变换不改变行列式因子，所以，每个人-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子•而求标准型的矩阵是较为简单的，因而，在求一个人■

17、矩阵的行列式因子时，只要求出它的标准型的行列式因子即可.讨论、练习与作业课后反思授课内容第二将1A—矩阵在初等变换下的标准型教学时数2授课类型讲授课教学目标了解7「矩阵的初等变换