(武汉大学大地测量学课件)第三章_地球重力场及地球形状的基本理论.pdf

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1、第三章地球重力场及形状的基本理论1地球重力场状基本理论3.1.1地球的概说（略）3.1.2地球运动概说地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。1、地球的自转地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。地球的绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。地球的自转速度：2cπ（Rhos)ϕ+2πV=ω=TT2地球重力场状基本理论2、地球的公转地球的公转满足开普勒三大行星运动定律(1)行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其椭圆的一个焦点上xy2222直角坐标方程：ab−+=1e=22abap极坐标方程：r=1c+eosff真近点角，p为焦参数（半通径）2b2pa==−(1e)a3地球重力场状基本理

2、论(2)行星运动在单位时间内扫过的面积相等；在时间t内扫过的面积s相等，则面速度22sππaba1−e==tTTVVV>>ABCDEFθ>>θθABCDEF可根据能量守恒定律导出。(3)行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为常数。设a和a,T和T分别表示两行星轨道的长半径与轨道11运行周期。4地球重力场状基本理论则第三定律表达为：22TT3=1af()Mm+33=aa221T4π23TMma+)×=23TMma+111一般可以用来计算行星或卫星的质量。牛顿万有引力定律：开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。天体力学5地球重力场状基本理论宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引

3、力大小与他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反比。2M⋅mM⋅mak==F2MFk==f222mrrr在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：22MmM()+mak=+=()k2223rrrafMm()+=2222T4πvr24ππavr==→,a=2rTT6地球重力场状基本理论考虑到M>>m3af()2Mm+πfM=→n==223Ta4Tπ2πfMn==3Ta注意：f、G、k2在不同的教材都表示引力常数。7地球重力场的基本原理3.2.1引力与离心力M⋅mF=f⋅2r2P=mωρvvvg=F+P其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。8地球重力场的基本原理3.2

4、.2引力位和离心力位由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是保守力。引力位：单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力所做的功。即：MdVV=f⋅a=−rdr9地球重力场的基本原理推导如下:Mm万有引力定律：F=f⋅2rMm假设沿力线方向做功为dA，则有dA=f⋅dr2rMm此功等于位能的减少，−dV=dA=f⋅dr2rMm积分则有：V=f⋅

5、+CrMm因为r→∞,V=0。所以C=0，则有V=f⋅rM取m=1，V=f⋅r10地球重力场的基本原理dm地球总体的位函数：V=∫dV=f⋅∫(M)r1、由牛顿第二定律可知：F=ma⎫⎪MMm⎬a=f⋅F=fr2r2⎪⎭dVMdV2、对位函数求导：=−f⋅,则有a=−2drrdr11地球重力场的基本原理•结论：单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的导数，方向与径向方向相反。•推论：位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度(或引力)向量的负值。∂V∂V∂Va=−,a=−,a=−xyz∂x∂y∂z12地球重力场的基本原理°离心力位在离心力场中，dQ=Pdl222ω2

6、ω2dQ=ωldl=dl⎯⎯→Q=l2222ω22ω22Q=(x+y)=rsinθ2213地球重力场的基本原理3.2.3重力位°重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心力位Q之和：2dmω22W=V+QW=f⋅∫+(x+y)r2°对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：∂W∂V∂Q⎫g=−=−(+)x⎪∂x∂x∂x⎪∂W∂V∂Q⎪gy=−=−(+)⎬∂y∂y∂y⎪⎪∂W∂V∂Qg=−=−(+)⎪z∂z∂z∂z⎭14地球重力场的基本原理°各分力的模：222g=g+g+gxyz方向余弦：gggxyzcos(g,x)=,cos(g,y)=,cos(g,z)=ggg重

7、力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的分力：∂W=g=gcos(g,l)l∂l15地球重力场的基本原理©当g与l相垂直时，那么dＷ=0，Ｗ＝常数当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位面，专称它为大地水准面。©如果令g与l夹角等于π，则有：dWdl=−g©水准面之间既不平行，也不相交和相切。16地球重力场的基本原理对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使它产生的重