导学案222换底公式.pdf

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1、2.2.2换底公式学习目标重点难点1．能记住换底公式，并会证明换底公式；重点：换底公式的应用——求值和化2．会利用换底公式解决一些对数式的化简；简、求值、证明问题；难点：用换底公式和对数运算性质解决3．能综合利用对数的相关知识解决问题.综合问题.1．对数的换底公式logN换底公式：logN＝c(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．alogaclgNlnN最常用的换底公式是logN＝和logN＝.algaalna预习交流1换底公式的意义是什么？提示：换底公式的意义主要体现在化简和求值两个方面：化简：把对数式的底数改变，化为同底

2、数问题，利用运算法则进行化简与求值．求值：在实际问题中，把底数换成10或e，可利用计算器或对数表得到结果．预习交流2除了课本中的方法，你还用其他方法证明换底公式吗？logN提示：令c＝x，则logN＝xloga＝logax，logacccc因此ax＝N，∴x＝logN，alogN即logN＝c.alogac2．换底公式的两个重要推论n(1)logbn＝logb.amma1(2)logb＝.alogab一、利用换底公式求值或化简求解下列各题：lg2(1)化简(log3＋log3)；48lg3(2)已知log27＝a，求log16的值

3、．126思路分析：对于(1)有两种思路：一是直接利用换底公式，将log3与log3都化为常用48对数，然后进行化简；二是考虑到4和8都是2的幂的形式，因此可利用换底公式的变形，lg2再将逆用换底公式，然后即可化简求值．lg3对于(2)，也有两种思路：一是直接利用换底公式，结合对数运算法则，寻求lg2与lg3的关系，然后代入化简；二是将对数log27及log16的底数及真数进行分解变形，发现它126们之间的关系，然后代入化简．lg3lg3lg2lg3lg3lg2解：(1)方法一：原式＝＋＝＋·lg4lg8lg32lg2

4、3lg2lg3lg3lg2lg3lg2115＝·＋·＝＋＝.2lg2lg33lg2lg3236方法二：原式＝(log3＋log3)·log23222311＝log3＋log3·log22232355＝log3·log2＝.62363lg3(2)方法一：由log27＝a，得＝a，122lg2＋lg33－a∴lg2＝lg3.2a3－a4×lg164lg22a4(3－a)∴log16＝＝＝＝.6lg6lg2＋lg33－a3＋a1＋2a方法二：由于log27＝log33＝3log3＝a，121212a∴log3＝.12333于是

5、log12＝，即1＋2log2＝.3a3a3－a因此log2＝.32a44444(3－a)而log16＝4log2＝＝＝＝＝.66log61＋log312a3＋a221＋1＋log23－a34(3－a)故log16＝.63＋a1．求值：log9·log32.827lg9lg322lg35lg210解：方法一：log9·log32＝·＝·＝.827lg8lg273lg23lg392510方法二：log9·log32＝log32log25＝log3·log2＝.8272333323392．已知log3＝a，log7＝b，试用a，b表

6、示log56.2314log7log7解：∵log3＝a，∴log7＝2＝2＝b.23log3a2∴log7＝ab.2log256log28＋log273＋log273＋ab∴log56＝＝＝＝.14log14log2＋log71＋log71＋ab22221．利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．n三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形logbn＝logb.amma对出现的对

7、数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．二、利用对数的换底公式证明等式212已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.abc思路分析：由于题目中涉及的字母均出现在幂式的幂指数上，因此可设出幂的结果，将指数式转化为对数式，然后利用换底公式及对数运算性质进行证明．证明：不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，于是a＝logm，b＝logm，c＝logm.346111则由换底公式可得＝log3，＝log4，＝lo

8、g6，ambmcm212于是＋＝2log3＋log4＝log(32×4)＝log36＝2log6＝.abmmmmmc因此等式成立．已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.证明：由已知可得m＝log10，n＝log10，2511因此＝lg2，＝lg