铁路桥涵过渡段的讨论.docx

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1、铁路桥涵过渡段的讨论一、概述随着设计标准的提高，现国铁Ⅱ级铁路也要求设置桥涵过渡段，这样“过渡段”设计已成较普遍的要求。客专和国铁Ⅰ、Ⅱ桥涵的过渡段设置长度L一般在20m左右，大多数情况下，在这范围内地形变化应该不大，线路纵坡的变化也有限，所以可以将地面和路基面在这20m左右的范围内视作相互平行的水平面。以往桥台台背后或涵洞边墙后的路基过渡段常采用二种型式，即所谓“正梯形”过渡段（TB10001-2005“路规”）和“倒梯形”过渡段（TB10621-2009“高铁”）。这二种过渡段的空间展布见“图1过渡段示意图”。根据图1绘制的下图2即分别为正、倒梯形过渡段的平面图：由图1和图2综合

2、分析，正梯形过渡段更形似棱台，但并不一定就是数学意义上所定义的棱台，因为这二个平行的顶、底面矩形并不一定是“相似形”（若确实相似或均为正方形或圆形，则为四棱台或圆台）。故求其体积就不能贸然采用棱台公式，而应采用所谓的“梯形体”求积公式，或者将正梯形过渡段这一六面几何体分割成若干个最基本的棱柱、棱锥体求积再求和。但是图2右侧的倒梯形过渡段外形就很不一样，用棱台体积公式显然不行，能否用“梯形体”公式，则应加以证明的过程。若将它分割成若干个最基本的棱柱、棱锥体求积再求和则是最可靠的办法。二、四棱台和梯形体为讨论比较的方便，在此将棱台或梯形体顶、底面顺线路方向的边长分别标记为a1和a2，而横

3、断面方向的边长分别标记为b1和b2；二平行顶、底面间的距离（高）标记为h。由此，顶、底面的矩形面积分别为F1=a1·b1和F2=a2·b2。棱台的体积公式：V棱=13h（F1+F2+F1·F2······························(1)至于“梯形体”的体积公式之推导，据有关资料介绍是先将梯形体切割成中间矩形体（四棱柱）①、四边三棱柱②～⑤、四个角上为四棱锥⑥～⑨，分别计算这九块体积然后相加。所得体积公式为：V梯=16ha1·b1+a2·b2+a1+a2b1+b2························（2）为便于相互比较，现将（1）和（2）二式分别变化如

4、下：V棱=13h（a1·b1+a2·b2+a1·b1·a2·b2=16h(2a1·b1+2a2·b2+2a1·b1·a2·b2··························(3)V梯=16h（a1·b1+a2·b2+a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2)=16h(2a1·b1+2a2·b2+a1·b2+a2·b1)·······················（4）对比（3）和（4），不难看出二者的区别在于括号内(3)式的“2a1·b1·a2·b2”项和（4）式内的“a1·b2+a2·b1”项。根据数学中的“绝对不等式”a+b2≥a·b（a和b均为正值）即a+b≥2a

5、·b将a1·b2和a2·b1分别设定为a=a1·b2和b=a2·b1，则应a1·b2+a2·b1≥2a1·b1·a2·b2····································（5）该式“≥”中的“=”情况，只有a1·b2=a2·b1时才能成立，亦即a1a2=b1b2，其顶、底面为相似矩形时（5）式才能相等，进而（3）式=（4）式。此时，该六面体实际上已为棱台，所以“梯形体”体积公式（4）或（2）中包括了“四棱台”这一特殊情况。若a1·b2≠a2·b1，则a1·b2+a2·b1>2a1·b1·a2·b2，说明该“梯形体”虽形似棱台而实非棱台的六面体，若误用棱台公式来

6、求其体积的话，则较该“梯形体”本来应有的体积肯定偏小（前述已予证明），且顶、底面对应边比值相差越大，其体积差值也越大。三、过渡段体积根据前图2中的两种情况，分别推导如下。1．正梯形过渡段按图中的1～1＇，2～2＇，3～3＇垂直三刀切割下去后，结合图1可得到如下四块几何体：梯形棱柱块V1=b1+b22×h×a1三角形棱柱块V2=(a2-a1)2×h×b1二个底面为矩形的四棱锥合成一个大四棱锥V3=h3b2-b1（a2-a1）V正=12b1+b2h·a1+12a2-a1h·b1+13hb2-b1（a2-a1）=16h[3a1（b1+b2）+3b1a2-a1+2b2-b1a2-a1]=16

7、h[3a1·b1+3a1·b2+3a2·b1-3a1·b1+2a2·b2-2a1·b2-2a2·b1+2a1·b1]=16h2a1·b1+a1·b2+a2·b1+2a2·b2=16h[a1·b1+a2·b2+a1（b1+b2）+a2（b1+b2）]=16h[a1·b1+a2·b2+（a1+a2）b1+b2]····································(6)2.倒梯形过渡段按图2右图中的和正梯形相当位置的三刀，结合图1可看到，梯形