二面角求法总结.doc

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1、二面角求法总结一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M在侧棱上，=60°FG（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。练习1:（山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—A

2、F—C的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例2．(山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1）证明：直线EE//平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。练习2（天津）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小．三．补棱法本法是针对在解

3、构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3（湖南）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.ABCEDPFGHABCEDP练习3-1:已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。（1）求证：

4、AC1⊥BC；（2）求平面AB1C1与平面ABC所成的二面角（锐角）的大小。ACBB1C1A1L练习3-2:在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。、四、射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。例4:（北京理）如图，在三棱锥中，，，ACBP，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；A1D1B1C1EDBCA练习4：如图，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面

5、A1B1C1D1所成锐角的余弦值.五、向量法1.法向量向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例5：（天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；求二面角A-CD-E的余弦值。练习5：（湖北）如图，在直三棱柱中，平面侧面

6、.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.2.向量外积法定义：设是2个空间向量，的向量积垂直于并且的方向符合右手法则.定理：设，则具体步骤：（1）建立空间直角坐标系；（2）取与二面角的棱共线的向量，在平面内分别取不与共线的向量（注意方向）；（3）将放在前面作向量积分别求出平面的法向量，即；（4）利用向量夹角公式，求出的值，此时无需再进行判断，就是所求二面角的余弦值.例6：（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面ED

7、C平面SBC.（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.练习6：（广东卷理）如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点．平面AEC外一点F满足，FE=a．（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得,求平面与平面所成二面角的正弦值．习题