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1、二面角的求法(总结)探究准备：一、忆一忆：1、二面角的概念，二面角的平面角的概念，二面角的大小范围；2、三垂线定理、平面的法向量。答：1、二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。二面角的大小范围：[00，1800];2、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直；平面的法向量：直线L垂直平面α，取直线L的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量
2、。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）探究准备：二、想一想：1、怎样做出二面角的平面角？答：1、做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角。ABCαβαβαβγ2、两个平面的法向量的夹
3、角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？探究准备：答：相等或互补αβm互补αβ相等m探究一：试一试：例1、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图：∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AB，SA⊥AC，SA⊥BD;于是SB==a又BC=a，∴SB=BC;∵E为S
4、C的中点，∴BE⊥SC又DE⊥SC故SC⊥平面BDE可得BD⊥SC又BD⊥SA∴BD⊥平面SAC∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成二面角的平面角。∵AB⊥BC，∴AC===a在直角三角形SAC中，tan∠SCA==∴∠SCA=300，∴∠CDE=900--∠SCA=600解毕。议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？请各小组讨论交流一下。SECABD探究二：试一试例二：如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1，∠DAB=600,F为棱AA1的中点。求：平面BF
5、D1与平面ABCD所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBF要求：1、各人思考；2、小组讨论；3、小组交流展示；4、总结。A1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。∵F是AA1的中点，∴可得A也是PD的中点，∴AP=AB,又∵∠DAB=600,且底面ABCD是菱形，∴可得正三角形ABD,故∠DBA=600,∵∠P=∠ABP=300,∴∠DBP=900,即PB⊥DB；又因为是直棱柱，∴DD1⊥PB,∴PB⊥面DD1B,故∠DBD1就是
6、二面角D1-PB-D的平面角。显然BD=AD=DD1,∴∠DBD1=450。即为所求.解毕。解法一：A1D1C1B1FADCBPE解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线；因为是直棱柱，所以AA1⊥底面ABCD,过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF,由三垂线定理可知，EF⊥PB,∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角；同解法一可知，等腰△APB,∠P=300，Rt△APB中，可求得AE=1，（设四棱柱的棱长为2）又AF=1,∴∠AEF=450，即为所求
7、。思考：这种解法同解法一有什么异同？解法三：法向量法：建系如图：设这个四棱柱各棱长均为2.则D(0，0，0）D1（0，0，2）B（1，，0）F（-1，，1）∴=（-2，0，1）=（1，，-2）显然，就是平面ABCD的法向量，再设平面BDD1的一个法向量为向量=(x0,y0,z0)。则⊥且⊥∴2x0+0y0-z0=0且x0+y0-2z0=0令x0=1可得z0=2,y0=,即=（1，，2）设所求二面角的平面角为θ，则COSθ==,所以所求二面角大小为450解毕A1D1C1B1ABCDxyzF解法四：A1D1C1B1FCB
8、DA如图：由题意可知，这是一个直四棱柱，△BFD1在底面上的射影三角形就是△ABD,故由射影面积关系可得COSθ=ＳABD／ＳBＦＤ1（θ是所求二面角的平面角）以下求面积略。点评：这种解法叫做“射影面积法”在选择和填空题中有时候用起来会很好总一总：求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什么问题？请同学们先自己思考，然后小组内交流
