二面角的求法

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1、二面角的几种求法1.引言在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼，特别是针对那些所给已知条件比较少的问题。例如：在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。在历年的高考题中，很多都出现了求二面角的题目，如2010年的安徽卷（第18题）、2010年的浙江卷（第20题）、2010年的陕西卷（第18题）、2009年的山东卷（第18题）、2009年的安徽卷（第18题）等等。这就说明，二面角问题在高考

2、中是一个热门的考点。因此，研究求解二面角问题的方法，有很大的研究价值。2.二面角及二面角的平面角的概念先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。（[引]）2.1二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。2.2二面角的平面角的概念如图1所示，在二面角的棱上任意取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角。图13.求解二面角问题的几个难点14在求解空间几何问题的时候，经常会遇到求二面角的问题，求此类问题的难点具

3、体体现在以下三个方面：3.1需要添加辅助线从二面角的定义来看，二面角的条件要求比较高，要求两条射线分别在两个半平面内且都垂直于这两个半平面的交线，在一般的空间图形中很难直接发现满足这样条件的角。在这样的情况下只有借助添加辅助线等方法来解决问题，而添加辅助线是一个很难掌握的技巧。同时新添加的辅助线的长度以及它们与其余各条直线、各个平面所成的角度，还需要经过进一步计算才能够得到。这无形中给二面角的求解过程带来了很多困难。3.2线面关系隐藏的深在有些问题中，没有直接给出直线所成的角度，只给出了空间图形中的部分线段长度。这类问题，不仅要求答题者有

4、很好的空间想象能力，还要求他们能根据长度求角度。3.3计算量巨大一般是根据长度求角度，这就会用到余弦公式，余弦公式是一个计算量十分大的公式。有些问题还可以用空间坐标系的向量间的角度来解决，同样也需要做很多很复杂的计算。4.二面角问题的求解方法对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法。4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1：如图2所示，在四面体中，,,。14求二面角的大小。图2分析：四面体的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长

5、度求角度的问题。解：设线段的中点是，接和。根据已知的条件，，可以知道且。又是平面和平面的交线。根据定义，可以得出：即为二面角的平面角。可以求出，，并且。根据余弦定理知：即二面角的大小为。同样，例2也是用概念法直接解决问题的。例2：如图3所示，是正方形，，，求二面角的大小。图3解：作辅助线于点，连接、。由于，，所以。即。由于14，所以即为所求的二面角的大小。通过计算可以得到：，，又，在三角形中可以计算得到。由此可以得到：，又。由余弦定理：即：。4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。下面

6、用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3：如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线，点在平面内，点在平面内。求二面角的大小。图4分析：过点作辅助线垂直于，作垂直于平面于点。4.2.1补角法直接求解二面角的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角。因为二面角与二面角是互补的关系，现在先求出二面角后，二面角的大小就很容易计算了。4.2.2三垂线法14由于，平面。那么根据三垂线定理可以得知：在平面内的射影垂直于两平面的交线。即且，根据定义可知，二面角的大小即为的大小。那么二面角的大小可以用补角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一个

7、垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面垂直于两个平面的交线，平面与平面的交线是，平面与平面的交线是，根据二面角的定义知即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角的大小。下面用例4来详细讲解一下切平面法。例4：在图5中，，。其中，。是的中点，。求二面角的大小。图5解：由于是的中点，且是等腰三角形，那么。又，可以推出：。所以：。又，则，所以。可以得出：是和的公共切平面。14由此，根据切平面法知即为所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根据余弦定理可知：那么。即求二面

8、角的大小是。4.2.4补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。例5：在图6中，，四边形是一个直角梯形，其中，，，。。求平面与平